Trigonometrie

29.01.2007, 13:32

Nero07

Trigonometrie

Also ich hab mal wieder ein Problem bei ner Trigonometrieaufgabe:

Hier mal die Angabe:

Zitat:

Herr Müller muß von seinem viereckigen Grundstück ABCD (AB = 65m, BC = 78m, CD = 94m, DA = 60m, Winkel(DAB) = 105°) entlang der Seite CD einen 3m breiten Streifen für die Errichtung einer Straße abtreten. Wieviel Prozent seiner Grundstücksfläche gehen dabei verloren?

Zuerst habe ich mir mal über den Cosinussatz und einer Diagonale von BD den Winkel Gamma, also Winkel(BCA), ausgedrückt. Danach lässt sich sehr leicht die Fläche bestimmen. So dann ergibt sich aus der gesuchten Form ein trapetz. in einer ecke kenn ich den winkel, denn der entspricht ja gamma. Die höhe kenne ich ja auch, weil die ist mit 3m gegeben. So damit ich mir die Fläche nun berechnen kann benötige ich jetzt noch den winkel der anderen Ecke. Dieser würde dem Winkel(CDA) = Delta entsprechen. Nur da ich in meiner Angabe nur einen winkel habe, kann ichs jetzt nicht über die diagonale AD alleine bilden.

Was ich allerdings habe ist die ganze fläche und somit dachte ich mir zuerst:

$\begin{eqnarray*} \frac{c\cdot d}{2}\cdot sin(\delta)+\frac{a\cdot b}{2}\cdot sin(\beta) = A \end{eqnarray*}$

und dann über die diagonale AD = e:
$\begin{eqnarray*} e²=a²+b²-2ab\cdot cos(\beta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e²=c²+d²-2cd\cdot cos(\delta) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{c²+d²-(a²+b²-2ab\cdot cos(\beta))}{2cd} = cos(\delta) \end{eqnarray*}$

umzuformen oben einzusetzten und dann nach Delta auszudrücken. Theoretisch müsste das doch gehen oder? Allerdings schaff ich es praktisch nicht.

Ein ansatz mit der selben überlegung, allerdings mit der heronschen flächenformel war genauso erfolglos...

Wie komm ich nun bitte auf das ergebnis?

Danke schon im vorraus!

29.01.2007, 15:11

riwe

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RE: Trigonometrie
mußt du das mit trigonometrie lösen verwirrt

sonst zeige ich dir mal einen vektoriellen, analytischen weg:
A(0/0), B(65/0).
D bekommst du jetzt über das skalarprodukt
C als schnittunkt der beiden kreise um D und B.

D`als zu AD parallelen vektor der länge 57, und ebenso C´.
und nun kannst du problemlos die beiden flächen berechnen.
das war nun wohl mehr zu meinem spaß unglücklich

wenn du es allerdings trigonometrisch lösen willst, dann würde ich empfeklen, das problem über die ANDERE diagonale aufzuschnüren Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f²=a²+d²-2ad\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

und über heron kannst du schon die fläche des 4-ecks berechnen.

und nun
$\begin{eqnarray*} {f^\prime}^{2}=a²+(d-3)²-2a(d-3)\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$
und das ganze noch einmal

werner

29.01.2007, 15:21

Nero07

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jo ist leider über trigonometrie zu lösen, aber selbst über deine vektoriellen ansätzte komm ich nicht ganz mit...

PS: deine skizzen finde ich immer so cool mit welchen programm machst du die?

29.01.2007, 15:25

riwe

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@ nero,
ich habe dir den trigonometrischen weg oben schon hin gemalt(im EDIT)

die bilderl fabiziere ich mit EUKLID

werner

29.01.2007, 15:42

Nero07

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danke, aber ist das richtig?

$\begin{eqnarray*} {f^\prime}^{2}=a²+(d-3)²-2a(d-3)\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

das kann doch nicht richtig sein, da nicht die seite d um 3 verkürzt wird sondern der abstand zu CD, und man zuerst beweisen müsste, dass DA und CD aufeinander normal stehen um damit rechnen zu können

29.01.2007, 15:59

riwe

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Zitat:

Original von Nero07
danke, aber ist das richtig?

$\begin{eqnarray*} {f^\prime}^{2}=a²+(d-3)²-2a(d-3)\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

das kann doch nicht richtig sein, da nicht die seite d um 3 verkürzt wird sondern der abstand zu CD, und man zuerst beweisen müsste, dass DA und CD aufeinander normal stehen um damit rechnen zu können

naja, wenn du es ganz genau nimmst, ist es nicht richtig.

du mußt den winkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ berechnen, der ist 86..8°. und daher ist exakt Big Laugh

$\begin{eqnarray*} d-\frac{3}{sin\delta}=d-3.0047 \end{eqnarray*}$

da brauchst aber schon sehr genau arbeitende straßenbauer im anschluß,
die ohne Prost

auskommen

also exakt - du hast ja recht!
$\begin{eqnarray*} d^\prime=d-3.0047 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^\prime=b-3.1987 \end{eqnarray*}$
maßarbeit!

werner

29.01.2007, 16:18

Nero07

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ich hab dich falsch verstanden. überhaupt bin ich bei dem beispiel scheinbar auf der leitung gestanden weil wenn ich über den sinussatz in den 2 dreiecken gehe, kann ich mir ja easy delta bilden

delta = delta1+delta2

f/sin(alpha)=a/sin(delta1) und f/sin(gamma)=b/sin(delta(2)

hab ich mal delta kann ich alles ausrechnen weil ich dann von dem gebildeten trapez beide winkel (delta und gamma) sowie die höhe habe... was will man mehr Augenzwinkern

Gut thema ist für mich erledigt ^^

29.01.2007, 16:35

riwe

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da bin ich aber auch auf der leitung gestanden.
da kannst du in hinreichend guter näherung einfach ein RECHTECK mit a = CD und b = 3 als straßenstück betrachten. verwirrt

werner

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