Euler-DGL Minimierungsproblem

16.06.2012, 19:34

didle

Euler-DGL Minimierungsproblem

Hallo

Ich versuche mich gerade an der Euler-Lagrange-Gleichung und blicke dort noch nicht ganz durch.
Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht wirklich hinbekomme.

Bestimmen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung des Minimierungsproblems

$\begin{eqnarray*} min \int_0^1 \! u*\sqrt{1+u'^2} \, dx \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} u \in C^2([0,1],\mathbb R ) \end{eqnarray*}$

ich bin so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} L(t,y,p)=y*\sqrt{1+p^2} \end{eqnarray*}$

Also,

$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial }{ \partial y} =\sqrt{1+p^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial }{ \partial p} = \frac{y*p}{ \sqrt{1+p}} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Eulersche Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ dt} \frac{u*u'}{ \sqrt{1+u'}}-\sqrt{1+u'^2} \end{eqnarray*}$

Ist es bis hier hin richtig? Und wie gehts weiter?
Ich bin bei der Sache noch ein bisschen unsicher.

Danke für Hilfe

17.06.2012, 11:24

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Euler-DGL Minimierungsproblem
Das Problem ist unvollständig gestellt. Es gehören noch Randbedingungen für u dazu.

Zitat:

Original von didle
$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial }{ \partial p} = \frac{y*p}{ \sqrt{1+p}} \end{eqnarray*}$

Da ist ein kleiner Fehler passiert. Überprüfe deine Ableitung.

Zitat:

Somit ist die Eulersche Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ dt} \frac{u*u'}{ \sqrt{1+u'}}-\sqrt{1+u'^2} \end{eqnarray*}$

Ist es bis hier hin richtig? Und wie gehts weiter?
Ich bin bei der Sache noch ein bisschen unsicher.

Das ist keine Gleichung, sondern ein Ausdruck. Mache daraus eine Gleichung und korrigiere dabei obigen Fehler.

Normalerweise wäre jetzt die entstandene DGL 2. Ordnung zu lösen. Dazu muss man zuerst die Ableitung nach t ausführen. Wenn allerdings L gar nicht von t abhängt, gibt es eine vereinfachte Form der Euler-Lagrange-Gleichung, die als Beltramis Identität bekannt ist. Wenn du die kennst, kannst du mit der vereinfachten Form rechnen. Sie entspricht einer ersten Integration der DGL 2. Ordnung, ist also nur noch eine DGL 1. Ordnung.

17.06.2012, 14:51

didle

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Huggy

Oh ja stimmt, da haben sich zwei Fehler eingeschlichen. Es sollte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial }{ \partial y} =\sqrt{1+p^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial }{ \partial p} = \frac{y*p}{ \sqrt{1+p^2}} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Eulersche Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ dt} \frac{u*u'}{ \sqrt{1+u'^2}}-\sqrt{1+u'^2} =0 \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich habe auch die vereinfachte Form der Eulerschen Gleichung gefunden:

Da L nicht Von t abhängt gilt : $\begin{eqnarray*} L_p (u,u')*u'-L(u,u')= c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{u*u'^2}{ \sqrt{1+u'^2}}-u*\sqrt{1+u'^2} =c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -\frac{u}{ \sqrt{1+u'^2}}=c \end{eqnarray*}$

Und das müss ich dann noch lösen.

Zitat:

Original von Huggy
Das Problem ist unvollständig gestellt. Es gehören noch Randbedingungen für u dazu.

Es ist leider genau so auf meinem Zettel. Dort stehen auch keine Randbedingungen. verwirrt

Gruß

17.06.2012, 16:07

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt richtig.

Wenn du nur die DGL aufstellen sollst, bist du damit im Prinzip fertig. Wenn du sie auch lösen möchtest, solltest du sie aber in die Form

$\begin{eqnarray*} u'f(u,c)=1 \end{eqnarray*}$

umschreiben. Dann kann man integrieren. Die Lösung hat 2 freie Konstanten. Deren Werte würden sich aus den Randbedingungen ergeben.

17.06.2012, 20:27

didle

Auf diesen Beitrag antworten »

HI

Dann habe ich
$\begin{eqnarray*} -u'\frac{c}{u^2+c^2}=1 \end{eqnarray*}$

Ich bekomme nur mit dem Integrieren nicht hin, hast du da vielleicht ein Tipp für mich?
Muss ich jetzt nach x integrieren? Also $\begin{eqnarray*} \int \!-u'(x)\frac{c}{u(x)^2+c^2}\, dx =\int \!1\, dx \end{eqnarray*}$
Ich hab dafür irgendwie garkeine Idee.

Und würde ich nicht 3 Konstanten rausbekommen? Also einmal c und dann die Konstanten von der Gleichung lnkts und rechts?

Vielen Dank

18.06.2012, 08:39

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von didle
HI

Dann habe ich
$\begin{eqnarray*} -u'\frac{c}{u^2+c^2}=1 \end{eqnarray*}$

Da steckt wieder ein Fehler drin. Noch mal nachrechnen!.

Zitat:

Ich bekomme nur mit dem Integrieren nicht hin, hast du da vielleicht ein Tipp für mich?
Muss ich jetzt nach x integrieren? Also $\begin{eqnarray*} \int \!-u'(x)\frac{c}{u(x)^2+c^2}\, dx =\int \!1\, dx \end{eqnarray*}$

Das Integrieren ist bei einer DGL mit gerennten Veränderlichen

$\begin{eqnarray*} f(u)u'=f(u)\frac {du}{dx}=g(x) \end{eqnarray*}$

einfach. Man substituiert auf der linken Seite x durch u, was ja besonders einfach ist, da in dem Integral schon u(x) drin steht. Man merkt sich das Vorgehen über formales Rechnen mit den Differentialen. Obige Gleicung wird formal mit dx multipliziert. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} f(u)du=g(x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int f(u)du=\int g(x)dx +c \end{eqnarray*}$

Damit ist die DGL auf Integrale zurückgeführt. Ob diese Integrale leicht oder schwer sind, ist eine andere Frage.

Zitat:

Und würde ich nicht 3 Konstanten rausbekommen? Also einmal c und dann die Konstanten von der Gleichung lnkts und rechts?

Man braucht nur eine Konstante. Schreibt man auf beide Seiten eine Konstante, kann man die eine auf die andere Seite schieben und sie mit der dortigen Konstanten zu einer neuen Konstanten zusammenfassen.

18.06.2012, 21:52

didle

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Stimmt da ist schon wieder ein Fehler.

$\begin{eqnarray*} -u'\frac{c}{\sqrt{u^2+c^2}}=1 \end{eqnarray*}$ [/quote]

So sollte es sein.

Zitat:

Original von Huggy

Das Integrieren ist bei einer DGL mit gerennten Veränderlichen

$\begin{eqnarray*} f(u)u'=f(u)\frac {du}{dx}=g(x) \end{eqnarray*}$

einfach. Man substituiert auf der linken Seite x durch u, was ja besonders einfach ist, da in dem Integral schon u(x) drin steht. Man merkt sich das Vorgehen über formales Rechnen mit den Differentialen. Obige Gleicung wird formal mit dx multipliziert. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} f(u)du=g(x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int f(u)du=\int g(x)dx +c \end{eqnarray*}$

Damit ist die DGL auf Integrale zurückgeführt. Ob diese Integrale leicht oder schwer sind, ist eine andere Frage.

Also sollte es so aussehen

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{c}{\sqrt{u^2+c^2}} \, du=\int_0^1 \! -1 \, dx \end{eqnarray*}$

Dort habe ich dann raus
$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{u(x)^2+c^2}+u)*c=-x+k \end{eqnarray*}$

Nun bin ich grad dabei das ganze nach u aufzulösen. Obwohl es glaube ich nicht unbedingt nötig ist.

Gruß

19.06.2012, 09:34

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von didle

$\begin{eqnarray*} -u'\frac{c}{\sqrt{u^2+c^2}}=1 \end{eqnarray*}$

Unter der Wurzel ist noch immer ein Fehler.
Das Minuszeichen könnte man in die Konstante c schieben. Das sieht etwas schöner aus, muss aber nicht sein.

Zitat:

Die Integrationsgrenzen gehören da weg. Du arbeitest mit dem unbestimmten Integral. Deswegen tauchen ja die Konstanten auf.

21.06.2012, 07:56

didle

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man schon wieder so ein Fehler

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{\sqrt{u^2-c^2}}=1 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{c}{\sqrt{u^2-c^2}} \, du=\int_0^1 \! -1 \, dx \end{eqnarray*}$

Und somit

$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{u(x)^2-c^2}+u)*c=-x+k \end{eqnarray*}$

Nun sollte alles richtig sein.

Warum ich die Integrationsgrenzen eingesetzt habe weiß ich auch nicht, ich meinte jedenfalls das unbestimmte Integral.

Vielen Dank für deine Hilfe Huggy Freude

Gruß didle

21.06.2012, 08:39

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von didle
Warum ich die Integrationsgrenzen eingesetzt habe weiß ich auch nicht, ich meinte jedenfalls das unbestimmte Integral.

Jetzt ist das richtig, bis auf die Integrationsgrenzen. Weshalb stehen die immer noch da?

21.06.2012, 15:27

didle

Auf diesen Beitrag antworten »

So ein Mist Hammer

Ich habs einfach kopiert und dachte, ich hätte sie weggemacht.

So!

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{c}{\sqrt{u^2-c^2}} \, du=\int \! -1 \, dx \end{eqnarray*}$

Nun ist es aber richtig.

Danke nochmal

didle

Neue Frage »

Antworten »

Euler-DGL Minimierungsproblem

Verwandte Themen