Symmetrie des Binomialkoeffizienten

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vin97 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie des Binomialkoeffizienten
Hier mal ein etwas anderer Weg die Symmetrie des Binomialkoeffizienten zu zeigen.
Normalerweise stellt man diese Eigenschaft ja durch diese Rechenregel/Formel dar:



Doch so geht es auch (glaube ich Big Laugh ):




MfG ... Vin!
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie des Binomialkoeffizienten
Ich denke, hiermit
Zitat:

versuchst du diesen Summanden
Zitat:

für ungerade n "wegzubekommen",

allerdings ist für alle a>0.

Richtig wäre



Du behauptest, dass die Summe aller Binomialkoeffizienten zu einem bestimmten n in zwei gleiche Summen zerfällt. Damit ist aber nicht gesagt, dass jeder Summand einer Teilsumme genauso groß ist wie ein entsprechender der anderen Teilsumme.
 
 
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Deshalb ist es auch kein Beweis sondern bloß eine weitere Veranschaulichung bzw. Darstellung.

Und mit geht es doch auch, denn schließlich wird der Exponent bei geraden n 0 und bei ungeraden n positiv, d.h. bei ungeraden n fällt der Summand weg und bei geraden n bleibt er (0^0=1).
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auch wenn frank09 deinen "Trick" mit dem nicht durchschaut hat bzw. keinen Gefallen daran findet, so hat er doch recht damit, dass dies mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten (fast) gar nichts zu tun hat...

Wollte man diese beweisen, geht es z.B. ganz einfach so, indem man auf zwei Arten berechnet, nämlich



bzw.



und dann einen Koeffizientenvergleich durchführt... Augenzwinkern
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere mal aus http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/6/28794.html?1308640224

" ist nicht definiert.

Wegen für alle a>0 sowie für alle b>0 kann sowohl 0 als auch 1 das gleiche Recht für sich beanspruchen, zu sein.
Oder allgemeiner: Für jedes können Funktionen f und g angegeben werden mit , so dass
Da also die Funktion nicht stetig von nachfortsetzbar ist, ist eine durchgehend konsistente Definition von nicht möglich."

Es mag auch gegenteilige Ansichten geben, auf jeden Fall ist es missverständlich.
Selbst Taschenrechner und Lehrbücher sind sich nicht einig.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal wird die Sinnhaftigkeit von hier immer wieder mal zur Diskussion gestellt, zuletzt hier...

Es erübrigt sich zu sagen, dass ich ein glühender Verfechter von ihr bin, weil sie einfach das "mathematische Leben" um so viel einfacher macht... Übrigens findet sich gerade in deinem Link ein nettes Argument, das ich noch nicht kannte und mir daher merken muss, nämlich

Zitat:

William Kahan, der Hauptarchitekt des Standards IEEE 754 für binäre Gleitkommazahlen, empfahl für Zwecke der numerischen Mathematik 0^0 = 1 zu wählen. Diese Konvention setzt sich anscheinend in der Informatik durch, so definieren der C99-Standard im Anhang F.9.4.4 sowie die Programmiersprache Java, dass pow(0.0,0.0)=1.0 ist.

Mein Standpunkt: Es gibt Probleme genug in der Mathematik, man muss sich nicht noch künstlich selber welche machen... Augenzwinkern
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe ein, dass meine Methode nicht elegant ist, allerdings bin ich auch der Meinung, dass mehr Vor- als Nachteile bringt.
Allein schon wenn man versucht auszurechen, ohne dabei als zu definieren, gibt es Probleme.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie des Binomialkoeffizienten
Dass es mathematische Ausdrücke gibt für die eine Festlegung auf sinnvoll ist, kann ich nachvollziehen. Daraus die zwingende Notwendigkeit für eine wie auch immer geartete, allgemeingültige Definition abzuleiten, finde ich zweifelhaft. Man kann die bereits erwähnte Unstetigkeit ja nicht einfach "wegdefinieren". Dazu kommt auch, dass man etwa in Reihenentwicklungen (Cos,Exp) nicht mit (für alle x) anfangen muss, sondern genausogut mit , etc. arbeiten kann. Auf jeden Fall sollte man wegen der Umstrittenheit auf den Gebrauch von verzichten, wenn das ohne große "Ausnahmeregelungen" möglich ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie des Binomialkoeffizienten
Zunächst einmal möchte ich vorausschicken, dass eine "zwingende Notwendigkeit" für diese Definition selbst ich nicht erkennen kann, sie macht nur einfach "das Leben leichter"... Oder sollte man lieber schreiben



nur um der der Schwierigkeit, dass cos 0 ohne undefiniert ist, aus dem Weg zu gehen...

Nein, ich verlass mich da ganz auf die Entwickler von CAS (Mathematica ist da leider, wie so oft, wieder eine unrühmliche Ausnahme!), die sich das sich mehr als jeder von uns überlegt haben, warum man das so festlegen sollte... Wink
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Echt witzig, ist wie der "erster"-Kommentar bei YouTube-Videos.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie des Binomialkoeffizienten
Zitat:
Original von Mystic
Nein, ich verlass mich da ganz auf die Entwickler von CAS (Mathematica ist da leider, wie so oft, wieder eine unrühmliche Ausnahme!), die sich das sich mehr als jeder von uns überlegt haben, warum man das so festlegen sollte... Wink

Mathematica ist da schon etwas intelligenter. Einfach ist undefiniert. Wenn aber in einer unendlichen Reihe auftritt, wird es als 1 interpretiert.
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie des Binomialkoeffizienten
Zitat:
Original von Mystic


nur um der der Schwierigkeit, dass cos 0 ohne undefiniert ist, aus dem Weg zu gehen...

Damit man die Formel so umstellen kann, muss aber eben gelten, dass jede Zahl (auch 0) hoch 0 gleich 1 ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie des Binomialkoeffizienten
Ne, die 1 vorne ergibt sich nach der Taylorreihenformel gerade aus cos 0, da braucht man 0^0 nicht dazu...
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.
vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann als Abschluss:





vin97 Auf diesen Beitrag antworten »

Sooo, jetzt habe ich das Ganze auch durch vollständige Induktion und Fallunterscheidung bewiesen.
Wie schnell auf einmal 13 Seiten zusammenkommen Big Laugh
Der Beweis ging erstaunlich leicht und schnell (ich hätte gedacht, dass man da mehr grübeln muss).
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