Beweis nachvollziehen, dass (1-|x|) (1-|y|) Lipschitz-stetig ist

16.06.2012, 20:33	NOSPAMHERE	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis nachvollziehen, dass (1-\|x\|) (1-\|y\|) Lipschitz-stetig ist Hi, in einem Buch wird "gezeigt", dass die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) = (1-\|x\|) \cdot (1-\|y\|) \end{eqnarray}$ wobei \|x\|,\|y\| <= 1 ist, Lipschitz-stetig ist mit der Konstanten $\begin{eqnarray} C = 2\cdot 2^{1/2} \end{eqnarray}$ Wörtlich steht da: "The parameter C is given by the absolute value derivative of the function (1-x)." Hä?? f ist nicht überall differenzierbar, also kann der Mittelwertsatz doch nicht angewendet werden... Übersehe ich irgend etwas?
16.06.2012, 21:11	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Analysier doch die Funktion abschnittsweise, sie ist ja abschnittsweise differenzierbar
16.06.2012, 21:24	NOSPAMHERE	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du das genauer erklären? Dann betrachte ich die Bereiche x,y > 0 und x>0, y<0 und x<0, y>0 und x,y<0 . Aber wie kann ich davon nun auf die ganze Funktion schließen? Immerhin konnen (x,y) und (v,w) ja in unterschiedlichen Bereichen liegen...
16.06.2012, 21:35	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Machs doch mal. Du nimmst dann die größte Konstante die rauskommt. Die ist dann ja für jeden Teil gültig.
16.06.2012, 21:54	NOSPAMHERE	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen der Symmetrie wird die bei allen Bereichen gleich sein - aber sie gilt eben nur in dem einen Bereich. Werden 2 Punkte aus 2 verschiedenen Bereichen genommen - warum sollte das dann immer noch Lipschitz-stetig sein???
16.06.2012, 22:20	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left\| f(x,y)-f(a,b)\right\|=\left\| \|xy\|-\|x\|-\|y\|-\|ab\|+\|a\|+\|b\|\right\|\leq \|x-a\|+\|y-b\|+\|xy-ab\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \\|(x,y)-(a,b)\\|_1+\\|(x,y)-(a,b)\\|_1=2\\|(x,y)-(a,b)\\|_1 \end{eqnarray}$ Also ist die Funktion Lipschitz stetig im betrachteten Bereich. Die Angabe der Konstanten ohne Verweis auf die verwendete Norm ist wertlos. Edit: Wenn die 2-Norm gemeint ist, passt die Lipschitzkonstante.
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16.06.2012, 22:50	NOSPAMHERE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es ist die euklidische Norm gemeint. Wie schätzt du \|xy - ab\| ab? Zurück zur Ausgangsfrage: Meinst du auch, dass man so nicht argumentieren kann?
16.06.2012, 23:03	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem man xb-xb zwischenschiebt und benutzt, dass die Beträge durch 1 beschränkt sind. Ich kann mit der Argumentation im Buch auch nichts anfangen.
17.06.2012, 00:00	NOSPAMHERE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, mit der Beschränkung Guter Beweis.

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