Sensitivitätsanalyse lineare Optimierung

17.06.2012, 10:47	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Sensitivitätsanalyse lineare Optimierung Meine Frage: Ich brauche mal wieder Eure Hilfe! Es geht um die Sensitivitätsanalyse bzgl. der beigefügten Aufgabe. Wie kann ich die Kapazitätsveränderungen der Maschinen berechnen, ohne das Tableau jedes mal neu zu berechnen? Meine Ideen: Laut meinem Skript soll man "aus dem Endtableau zeilenweise Gleichungen für die Basisvariablen in Abhängigkeit der entsprechenden yi Variablen aufstellen und gleich 0 setzen und dann y berechnen". Je nachdem, ob y dann positiv oder negativ ist, handelt es sich um eine Senkung oder Erhöhung. Wie stelle ich denn diese Gleichungen auf? Wenn ich nun im Beispiel für die Basisvariable x2 die Gleichung aufstelle, wäre das: $\begin{eqnarray} 0,5 x1- 0,25 x3+ x4+ y1- 0,125 y2= 50 \end{eqnarray}$ Inwiefern hilft mir das jetzt weiter um die Veränderung von y1 (wie in Teilaufgabe a gefragt) oder die auch häufig gefragten Grenzen zu berechnen, ohne die optimale Lösung zu verändern? Und was muss dann in der Gleichung für die Unbekannten eingesetzt Werden? Ihr seht, ich bin völlig planlos und dankbar für jede Hilfe
17.06.2012, 10:50	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sensitivitätsanalyse lineare Optimierung Die optimale Lösung ist natürlich: x1= 0 x2= 250 x3= 0 x4= 50 y1= 0 y2= 0 y3= 50 D= 2900
18.06.2012, 05:12	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nini, zur Frage b) Da im Endtableau die Schlupfvariable $\begin{eqnarray} y_1 = 0 \end{eqnarray}$ ist, ist die Restriktion 1 (Maschine 1) voll ausgeschöpft. Somit müsste entweder $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ verringert werden. Da $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ sowieso schon 0 ist, kann es nicht mehr verringert werden. Bleiben somit nur noch $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ . Um möglichst "kostengünstig" die verringerte Maschinenkapazität zu kompensieren, muss man sich jeweils das Verhältnis von Zeitbedarf des Produkts j auf Maschine 1 (hier 2 und 4) und Deckungsbeitrag von Produkt j ansehen. Produkt2: $\begin{eqnarray} \frac{2}{10}=0,2 \end{eqnarray}$ Produkt4: $\begin{eqnarray} \frac{4}{8}=0,5 \end{eqnarray}$ Somit hat Produkt 2 den geringeren Zeitbedarf pro Deckungsbeitrag auf Maschine 1 als Produkt 4. Das heißt man reduziert jetzt das Produkt 4 soweit, bis die neue Restriktion 1 (600) nicht mehr überschritten wird. Da um 100 reduziert worden ist und es keine Restkapazitäten mehr gab( $\begin{eqnarray} y_1=0 \end{eqnarray}$ ), muss Produkt 4 die volle Reduzierung tragen. Da eine Einheit des Produkts 4 vier Einheiten der Maschinenkapazität verbraucht, muss man Produkt 4 um, 100/4 = 25 Einheiten reduzieren. Somit wäre die $\begin{eqnarray} x_{4 \ neu} =50-25= 25 \end{eqnarray}$ . Mit der alten und neuen Menge von Produkt 2 (250) ergibt sich dann der neue Zielfunktionswert. Du kannst auf die gleiche Weise dies mal mit der Reduktion der 300 Kapazitätseinheiten der Maschine 1 probieren. Hier ist klar, dass noch mehr von Produkt 4 reduziert wird. Wenn das nicht ausreicht um die neue Restriktion einzuhalten, dann muss noch was von Produkt 2 reduziert werden. Mit freundlichen Grüßen.
18.06.2012, 14:42	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider ist mein Computer gerade abgestürzt - hab aber gerade noch ein Bild von meinem "Roman" gemacht... Hoffentlich sind das nicht zu viele Fragen auf einmal
18.06.2012, 14:54	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nini, nur mal kurz: $\begin{eqnarray} y_3 \end{eqnarray}$ verändert sich, weil sich $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ ändert. Schau mal in die dritte Restriktion der Aufgabenstellung. Wenn $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ gesenkt wird, dann bleibt mehr Platz für $\begin{eqnarray} y_3 \end{eqnarray}$ . Die Kapazität von Maschine 3 wird ja nicht verändert. Bin mal kurz weg. Mit freundlichen Grüßen.
18.06.2012, 16:36	Nini2012	Auf diesen Beitrag antworten »
klar, logisch! Danke schonmal - wär toll, wenn Du später noch nen Moment hast für meine anderen Fragen
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18.06.2012, 23:32	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Wenn die erste Restriktion um 300 verringert wird, musst du ausrechnen, wieviel du von $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ verringern musst. $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ hat in der 1. optimalen Lösung 50. Ein $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ verbrauch 4 Kapazitätseinheiten. 50 $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ somit 200. Wenn man jetzt kein $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ produziert, dann hat man 200 Maschinenstunden eingespart. Es verbleiben noch 100 Maschinenstunden . Jetzt muss man sich das Produkt aussuchen, welches in der 1. Restriktion (Maschine 1) enthalten ist. Da haben wir ja gesagt, dass letztendlich nur Produkt 2 ( $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ) möglich ist. $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ verbraucht 2 Maschinenstunden pro Einheit. Um die restlichen 100 Maschinenstunden, die noch zu viel sind auszugleichen reduziert man $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ um 50 (100:2). Dadurch werden aber in Restriktion 2 und 3 Kapazitäten frei: $\begin{eqnarray} R2: 450=200 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R3: 250=100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_4 \end{eqnarray}$ können nicht erhöht werden, da die Restriktion 1 schon voll von ihnen ausgeschöpft wird. Bleibt also noch $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ . In der 2. Restriktion verbraucht Produkt 3 zwei Machinenstunden pro Einheit. Da jetzt 200 Maschinen in R2 frei werden könnten 100 $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ produziert werden. In Restriktion werden 100 frei. Produkt 3 verbraucht 1 Machschinenstunde pro Einheit. Also könnte man hier 100 $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ produzieren. Wenn man die beiden Restriktionen (R2 und R3) vergleicht, dann muss man natürlich das Minimum an möglicher $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ -Produktion nehmen um beide Restriktionen einzuhalten. Hier ist das zufällig gleich. Nämlich $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ =100. Bei der Kapäzitätserhöhung geht man ähnlich vor. Das das Kriterim folgendes das gleiche: Verhältnis von Zeitbedarf des Produkts j auf Maschine 1,2 oder 3 und Deckungsbeitrag von Produkt j Nur das man hier den kleinsten Quotient auswählt. Das kannst du ja mal versuchen. Mit freundlichen Grüßen.

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