Minimalpolynome, Teilbarkeitsbeziehungen

17.06.2012, 11:03	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynome, Teilbarkeitsbeziehungen Hi, Die Aufgabe aus dem Anhang macht mir Schwierigkeiten. Für Teil i hab ich lediglich die Wohldefiniertheit und Homomorphismeneigenschaften von f* (damit ist f mit einem Strich symbolisiert) gezeigt, sollte so ausreichen? Für Teil ii und iii habe ich aber keinen richtigen Ansatz. Für iii würde es vielleicht reichen zu zeigen, dass die Eigenwerte von f gerade die Vereinigung der EW von f* und f¦U sind. Aber auch das fällt mir nicht leicht.. Für einen kleinen Schubser in die richtige Richtung wäre ich dankbar
17.06.2012, 11:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal zur ii): Das ist eigentlich eine Standardaufgabe. Man hat einen Endomorphismus $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , dessen Minimalpolynom $\begin{eqnarray} p_{\alpha} \end{eqnarray}$ und irgendein anderes Polynom $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Will man dann $\begin{eqnarray} p_{\alpha} \| f \end{eqnarray}$ zeigen, so zeigt man einfach $\begin{eqnarray} f(\alpha)=0 \end{eqnarray}$
17.06.2012, 17:06	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das heißt ii ist äquivalent zu "f* eingesetzt in das Minimalpolynom von f ergibt 0". Das geht über die Definition von f* recht schnell. Bleibt iii. Ich kann mir das mit Matrizen gut vorstellen: Da U f-invariant ist, kann man eine Basis von V angeben, sodass die darstellende Matrix bezüglich f mit der Basis eine Form hat wie folgt: A besteht aus 4 Blockmatrizen, sodass die linke obere Matrix die darstellende von f* ist, die rechte untere ist f¦U, und die anderen beiden Blöcke sind Nullmatrizen. Damit gilt für das char. Polynom, dass es das Produkt der char. Polynom der beiden Blockmatrizen ist. Bei der Argumentation habe ich aber eine Lücke: warum ist der linke obere Teil die darstellende Matrix von f? Wie kann man da gut argumentieren? edit Korrektur: der linke untere Block muss nicht 0 sein (da f(V-U) auch in U liegen kann), was meine Idee unsinnig macht... man verzeihe mir die vielen edits: die Begründung oben ergibt immerhin, dass das char. Polynom von f¦U ein Teiler vom char. Polynom von f ist. wie ich nun f ins Spiel bringe weiß ich nicht.

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