Verteilung berechnen - Matrix gegeben

17.06.2012, 17:55

Kongruenzmeister

Verteilung berechnen - Matrix gegeben

Angabe: $\begin{eqnarray*} Y_{1}, Y_{2} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ -verteilt, $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , berechne Verteilung $\begin{eqnarray*} X=AY \end{eqnarray*}$ .

Hallo, liebe Forengemeinde, diese Aufgabe ist aus einer alten Wahrscheinlichkeitstheorieprüfung (mitgeschrieben, mir liegt also nicht das Original der Prüfung vor).
Meine Frage ist: Wie gehe ich so ein Beispiel an, was will und suche ich da? Ich nehme an, dass mein $\begin{eqnarray*} Y_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_{2} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ von unten sein sollen. Meine Frage: Ist da für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ein konkreter Vektor gegeben oder kann man das Beispiel auch so lösen? Ich verstehe nämlich komplett nicht, was ich da machen soll bzw. wie ich diese Verteilung berechne..

Ich bin mir nicht sicher, wie die Angabe gemeint ist, also ob da ein konkretes Y da stand, was der Aufgabenaufschreiber vergessen hat oder ob man die Aufgabe auch so lösen kann..

Vielen Dank und lg

Edit: Tut mir leid, aber ich weiß nicht, wie man hier Latex-Codes schreiben kann..

Latex korrigiert

21.06.2012, 02:00

Kunzi

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Da muss man etwas weiter ausholen:

zunächst einmal eine definition:

der Erwartungswert eines Vektors/einer Matrix ist komponentenweise definiert, heisst:

$\begin{eqnarray*} E\vec{(x)}=E\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} E(x_1) \\ E(x_2) \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Nun ist

$\begin{eqnarray*} X=AY=\left(\begin{array}{c} \frac{3}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{1}{\sqrt{10}}Y_2 \\ \frac{1}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{3}{\sqrt{10}}Y_2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

also ist

$\begin{eqnarray*} E(X)=E\left(\begin{array}{c} \frac{3}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{1}{\sqrt{10}}Y_2 \\ \frac{1}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{3}{\sqrt{10}}Y_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} E(\frac{3}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{1}{\sqrt{10}}Y_2) \\ E(\frac{1}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{3}{\sqrt{10}}Y_2) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} E(\frac{3}{\sqrt{10}}Y_1)+E(\frac{1}{\sqrt{10}}Y_2) \\ E(\frac{1}{\sqrt{10}}Y_1)+E(\frac{3}{\sqrt{10}}Y_2) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{3}{\sqrt{10}}E(Y_1)+\frac{1}{\sqrt{10}}E(Y_2) \\ \frac{1}{\sqrt{10}}E(Y_1)+\frac{3}{\sqrt{10}}E(Y_2) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Bei Vektoren hat man weiterhin keine Varianz mehr, sondern eine Kovarianzmatrix

$\begin{eqnarray*} Definiere:\left(\begin{array}{c} \frac{3}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{1}{\sqrt{10}}Y_2 \\ \frac{1}{\sqrt{10}}Y_1+\frac{3}{\sqrt{10}}Y_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} Z_1 \\ Z_2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

so ist

$\begin{eqnarray*} Cov(X)=\left(\begin{array}{rr} Var(Z_1) & Cov(Z_1,Z_2) \\ Cov(Z_1,Z_2) & Var (Z_2) \end{array}\right)=E((X-E(X))(X-E(X))')\ \ das\ '\ bedeutet\ transponiert \end{eqnarray*}$

die Kovarainzmatrix kannste ja vll selber ausrechnen, hab grad keine Lust zu^^, wenn de nicht weiter kommst sagste dann nochma bescheid, jedenfalls ist:

$\begin{eqnarray*} X N_2(\vec{0},Cov(X)) Verteilt \end{eqnarray*}$

da eine Linearkombination einer Normalverteilten Zufallsvariable (ZV) auch normalverteilt ist und die Summe von 2 normalverteilten ZV auch Normalverteilt ist.

Keine garantie für 100%ige Richtigkeit, müsste aber so hinhauen

LG

21.06.2012, 06:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kongruenzmeister
Angabe: $\begin{eqnarray*} Y_{1}, Y_{2} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ -verteilt, $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , berechne Verteilung $\begin{eqnarray*} X=AY \end{eqnarray*}$ .

Es fehlt eine wesentliche Voraussetzung, ohne die die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht berechnet werden kann: Ich nehme an, dass auch die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird, oder? verwirrt

21.06.2012, 07:41

Kunzi

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stimmt, dann kannst du die Kovarianzmatrix nicht ausrechen.

bei unabhängigkeit müsste die Kovarianzmatrix

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{rr} 1 & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & 1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$
sein

@HAL: wäre nett wenn dus nochma nachrechnen könntest smile

21.06.2012, 09:28

HAL 9000

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Die Kovarianzmatrix ist ja hier einfach $\begin{eqnarray*} AA^t \end{eqnarray*}$ , von dir offenbar richtig berechnet. Freude

21.06.2012, 09:36

Kunzi

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und deshalb bin ich nur Wirtschaftswissenschaftler, weil ich sowas nicht sofort sehe Hammer

, habs mir etwas komplizierter gemacht

21.06.2012, 09:41

HAL 9000

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Allgemein lautet die Eigenschaft so:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -dimensional normalverteilter Vektor, d.h. $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma) \end{eqnarray*}$ mit einem ebenfalls $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Mittelwertvektor $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sowie einer regulären $\begin{eqnarray*} m\times m \end{eqnarray*}$ -Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ , so entsteht durch die Transformation

$\begin{eqnarray*} X = AY \end{eqnarray*}$

mit einer $\begin{eqnarray*} n\times m \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ vom Rang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wieder ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional normalverteilter Vektor $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(A\mu,A\Sigma A^t) \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall ist $\begin{eqnarray*} m=n=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mu = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , d.h. gleich der Einheitsmatrix, womit aus $\begin{eqnarray*} A\Sigma A^t \end{eqnarray*}$ schlicht $\begin{eqnarray*} AA^t \end{eqnarray*}$ wird.

Zitat:

Original von Kunzi
und deshalb bin ich nur Wirtschaftswissenschaftler

Soweit mir bekannt ist, kommt die lineare Algebra (also Matrizenrechnung usw.) in der Mathematikausbildung der Wirtschaftswissenschaftler auch nicht gerade kurz weg, also mal nicht das Licht unter den Scheffel stellen. Augenzwinkern

21.06.2012, 10:01

Kunzi

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ja man muss mit rechnen können das stimmt, aber auf tiefere mathematische hintergründe (wie bei deinem Zitat) und beweise wird weniger wert gelegt, das muss man sich dann selber zusammenbasteln, oder man lässt es und lernt es nur auswendig, was 99% der leute machen nach meinen erfahrungen smile

21.06.2012, 10:07

HAL 9000

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Die eigentliche Aussage des von mir angebrachten Satzes ist ja, dass aus der Normalverteiltheit von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auch die Normalverteiltheit von $\begin{eqnarray*} AY \end{eqnarray*}$ folgt. Nur um den Mittelwert $\begin{eqnarray*} A\mu \end{eqnarray*}$ und die Kovarianz $\begin{eqnarray*} A\Sigma A^t \end{eqnarray*}$ des transformierte Vektors $\begin{eqnarray*} AY \end{eqnarray*}$ zu berechnen, dazu braucht man diesen Satz nicht, das geht auch durch einfache Rechnung mit dem Erwartungswertoperator, so wie du sie ja oben demonstriert hast.

21.06.2012, 10:14

Kunzi

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genau, dann verbleiben wir so, dass deine erklärung deutlich effektiver ist und meine für den "Laien" etwas besser verständlich Augenzwinkern

und ich hab wieder was dazugelernt, vielen dank smile

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