allg. Treppenfunktion - Stammfunktion und Riemannintegrierbarkeit

17.06.2012, 18:38	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
allg. Treppenfunktion - Stammfunktion und Riemannintegrierbarkeit Hallo zusammen, folgende Aufgabe habe ich zu bearbeiten. Sei $\begin{eqnarray} P = \{x_0,..,x_n\} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung des Intervalls $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ und seien $\begin{eqnarray} e_1,..,e_n \end{eqnarray}$ Vektoren eines Banachraums E. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f:[a,b] \rightarrow E \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} f\|_{(x_{k-1},x_k)} = e_k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k = 1, .. ,n \end{eqnarray}$ heißt Treppenfunktion (Werte $\begin{eqnarray} f(x_k) \end{eqnarray}$ beliebig). a) Es soll gezeigt werden das alle nicht-konstanten Treppenfunktionen keine Stammfunktion besitzen. b) Es soll gezeigt werden, dass sie riemannintegrierbar ist. Mein Ansatz für a) Ich gebe für bestimmte Intervalle das Integral an und Vereine diese Integrale dann zu einer Pseudo-Stammfunktion und zeige dann, dass diese an zwischen wenigstens 2 Stufen nicht differenzierbar ist. Es ist leicht einzusehen, dass für $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F'(x) = f(x) \end{eqnarray}$ auf den Intervallen der Form $\begin{eqnarray} (x_{k-1},x_k) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} F(x) = e_k x + C \forall x \in (x_{k-1},x_k) \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} f(x_k):=G_k \forall k \end{eqnarray}$ . Dann ist weiterhin leicht einzusehen, dass für $\begin{eqnarray} x \in \{x_1,..,x_n\} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} F(x) = G_k x + C \forall x \in \{x_1,..,x_n\} \end{eqnarray}$ Nun würde ich die Pseudo-Stammfunktion F(x) angeben durch $\begin{eqnarray} F(x)=\begin{cases}<br /> e_k x + C, & \text{wenn }x \in (x_{k-1},x_k)\\<br /> G_k x + C, & \text{wenn } x = x_k<br /> \end{cases} \end{eqnarray}$ Da ich weiß, dass die Funktion nicht konstant ist, weiß ich, dass ein $\begin{eqnarray} e_k \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} e_k \neq e_{k+1} \end{eqnarray}$ . Dann ist aber leicht einzusehen, dass an der Stelle $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ das rechts und linksseitige Differential verschieden sind und somit F(x) nicht auf ganz $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und somit auch keine Stammfunktion sein kann. Da eine Stammfunktion wenn existent eindeutig ist, ist damit die Behauptung bewiesen. Mein Ansatz für b) Die Riemannintegrierbarkeit folgt aus dem Lebesgueschem Integriebarkeitskriterium. Die Funktion ist wie leicht einzusehen beschränkt durch $\begin{eqnarray} min\{e_k,f(x_k): k \in \{0,..,n\}\} \leq f(x) \leq max\{e_k,f(x_k): k \in \{0,..,n\}\} \end{eqnarray}$ und weiterhin auch fast überall stetig, da die Menge der möglichen Unstetigkeitsstellen \{x_0,..,x_k\} per Definition abzählbar unendlich ist. Da die Funktionen auf allen anderen Intervallen $\begin{eqnarray} (x_{k-1},x_k) \end{eqnarray}$ konstant ist, ist sie dort auch stetig. Damit ist gezeigt, dass die Funktion riemannintegrierbar ist. Nun bin ich mir gerade bei a) nicht sicher ob der Ansatz ok ist. Und b) scheint mir so wie ich es gemacht habe etwas zu einfach.
18.06.2012, 05:56	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a): Diese $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ können erstmal für jedes Intervall verschieden sein. Auch ist nicht klar, wie du auf die Darstellung für $\begin{eqnarray} F(x_k) \end{eqnarray}$ kommst. Eine solche ergibt sich jedenfalls z.B. aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ und der Darstellung von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ auf den Intervallen $\begin{eqnarray} (x_{k-1},x_k) \end{eqnarray}$ Um die Situation zumindest schreibtechnisch zu vereinfachen, überlege dir, warum es genügt den Fall n=1 zu betrachten. (Also mit nur 2 Intervallen und einer Unstetigkeitsstelle) Dann sieh dir die links- und rechtsseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ an der Unstetigkeitsstelle von f an. zu b): Du schätzt f hier nur mit 2 Konstanten von oben und unten ab (Sinn?). Es ist auch nicht jede Funktion, die an allen bis auf endlich vielen Stellen stetig ist, automatisch Riemann-integrierbar. (z.B. $\begin{eqnarray} x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ nicht.) Dass Treppenfunktionen Riemann-integrierbar sind, ist eine einfache Folgerung aus der Definition. Bzw. wenn du das Lebesguesche Kriterium kennst, wundert es mich eigentlich, dass das anscheinend noch nicht bekannt ist. Wird dieses Kriterium nicht mit Hilfe von Treppenfunktionen formuliert?
18.06.2012, 10:06	Snuze	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a) Bis auf den Punkt mit der Stammdunktion an den Stellen $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ habe ich doch alles so gemacht, oder nicht? Zu b) wir habe das Lebesguesche Integrierbarkeitskriterium wie folgt eingeführt: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f: [a,b] \subset \mathbb R \rightarrow R \end{eqnarray}$ ist genau dann riemann integrierbar, wenn sie beschränkt ist und fast überall stetig ist. Dieses fast überall stetig haben wir mittels Lebesgueschen Nullmaß definiert. Und da dieses bei einer abzählbaren Teilmenge von den reellen Zahlen gegeben ist, habe ich nur kurz angedeutet, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen abzählbar unendlich ist.
18.06.2012, 17:47	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a): Es sah für mich so aus (bzw. du hast du so formuliert), dass C bei dir eine feste Konstante ist, anstatt dass du für jedes k ein anderes $\begin{eqnarray} C_k \end{eqnarray}$ hast. Vielleicht hast du in dem Teil mit dem "leicht einzusehen" ja schon das Richtige gemeint. Wie würdest du das denn genau machen? zu b): Ok, wenn du das benutzen kannst, reicht das natürlich. Wobei ich es immernoch seltsam finde auf RM-Integrierbarkeit einer Treppenfunktion auf diese Weise zu schließen.

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