Ist Schnittmenge zweier Unterräume wieder ein Unterraum?

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Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »
Ist Schnittmenge zweier Unterräume wieder ein Unterraum?
Hi, ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist ein Vektorraum über und sind Untervektorräume, dann ist ein Untervektorraum von .


mein Lösungsversuch:

da nach Vorraussetzung mindestens .


Jetzt müsste ich doch noch zwei Dinge zeigen?:

ist Untervektorraum von genau dann, wenn
1.) ist abgeschlossen bzgl. der Addition
2.) ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation
oder auch:



Die Definition gilt ja für beliebige x, also auch für

also dann und nur dann, wenn

sind nach Vorraussetzung Untervektorräume, in denen diese Operationen definitionsgemäß schon gelten.

daraus folgt dann ist Untervektorraum von ?


Vielleicht kann mir einer helfen, ich bin sicher auf dem Holzweg, oder?

lg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist gar nicht so sehr auf dem Holzweg wie du glaubst, du müsstest es nur etwas mehr ordnen und ordentlich aufschreiben.

, das ist in Ordnung. Den Rest sollten wir uns nochmal angucken ( ist zwar richtig, bringt dich aber nicht weiter bzw. beweist dir hier nichts).

Abgeschlossenheit:
Seien nun , was lässt sich dann sowohl über als auch über sagen? Wie siehts mit aus?
Für die Multiplikation mit einem Skalar verfahre genauso.
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, super danke!



sind demnach jeweils Elemente der Vektorräume in denen die Addition und Subtraktion bereits abgeschlossen ist?


hmm bin mir nicht sicher.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was heißt das für ?
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Da und nach Vorraussetzung (Aufgabenstellung) Elemente eines Vektorraumes sind, liegt auch deren Summe und das Vielfache wieder jeweils im Vektorraum U und W, und dann kann ich die Definition einer Schnittmenge hier wieder anwenden, sodass:

damit ist additiv abgeschlossen.

damit ist multiplikativ abgeschlossen.

daraus folgt, ist ebenfalls ein Unterraum von .


wäre das so ok?

lg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Passt so. smile
 
 
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

super! Danke für deine tolle Hilfestellung! Wink
Eric Hirzler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sitze gerade im ersten semester und mache genau so eine Aufgabe, doch ich kapier es einfach nicht, alles was ich mir versuche selber zu erarbeiten zu diesem Thema ist unbrauchbar. Könnte mir jemand sagen wie man bei der Aufgabe zur Lösung kommt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man geht zur Vorlesung und in Übungen. Man lernt Definitionen und Sätze auswendig und achtet ganz genau darauf, wie die Professoren und Übungsleiter Beweise führen, was sie sagen und was sie schreiben. Dann denkt man tage- und nächtelang darüber nach, liest Mitschriften und Skripten und Bücher. Dann denkt man tage- und nächtelang darüber nach und löst Aufgaben und führt Beweise, indem man alles so macht, wie die Experten es vormachen.

Bei der obigen Aufgabe muss man wissen, wie ein Vektorraum definiert ist, wie ein Untervektorraum definiert ist und wie man das UVR-Kriterium benutzt um zu beweisen, dass eine Teilmenge eines Vektorraums ein UVR ist. Also : 2 Definitionen lernen, einen Satz lernen, und Beispiele üben, üben, üben ...
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