Tangenten an Parabeln

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Ankat Auf diesen Beitrag antworten »
Tangenten an Parabeln
Meine Frage:
Hallo,
ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Gegeben sei eine Parabel und eine Gerade, die durch den Brennpunkt der Parabel geht und die Parabel in den beiden Punkten P1 und P2 schneidet. Zeigen Sie, dass die Tangenten an die Parabel in den Punkten P1 und P2 senkrecht aufeinander stehen und ihr Schnittpunkt auf der Leitgeraden liegt.


Meine Ideen:
Ich weiß wie ich eine Tangente an die Parabel konstruiere und was eine Leitgerade ist. Habe aber keine Idee wie ich da jetzt sinnvoll anfangen könnte, dass zu zeigen!
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangenten an Parabeln
du kannst dich hier schlau machen, was eine leitgerade ist: Parabel


vllt erstellst mal eine skizze, wie weit du kommst.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es umgekehrt machen: Einen Punkt auf der Leitgeraden annehmen, von dort die Tangenten legen. Die Verbindungsgerade der beiden Berührungspunkte enthält den Brennpunkt und die beiden Tangenten stehen senkrecht aufeinander.

Führe dies mit der Parabel (Scheitelform, Hauptlage) durch.

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

oder man schneidet die gerade

mit

bestimmt die y-koordinaten der schnittpunkte und zeigt

für(1)

für (2)
Ankat Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso benutze ich die Parabel y² = 2px und nicht y = ax² ??

Ich hätte dann jetzt einfach als Punkt auf der Leitgeraden F(0/Y) gewählt und mit Hilfe der Punkte P1 und P2 jeweils eine Geradengleichung aufgestellt. Gezeigt dass m1*m2=-1 ist. Wie ich aber jetzt auf den Brennpunkt komme weiß ich nicht...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit deiner Parabel kannst du es ebenso gut machen, denn dann ist das Ganze eben um 90° gedreht. So wie bei der Parabel der Brennpunkt die Koordinaten F(p/2; 0) hat und die Gleichung der Leitgeraden x = -p/2 lautet, musst du das nun auf deine Parabel umsetzen ...

Somit kennst du auch dort die Koordinaten des Brennpunktes. Klar?

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die übliche bezeichnung für die parabel in 1. hauptlage
mit hast du die brennpunktkoordinaten und die leitlinie

es steht dir natürlich frei den parameter a zu nennen.
die koordinaten des brennpunktes und leitlinie sollten auch dann kein großes geheimnis sein


edit
@mythos: ich hatte deinen beitrag noch nicht gesehen.
ich verschwinde gerne im garten auf ein kühles bierchen Augenzwinkern
Ankat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe gerade noch nicht warum die X-Koordinate p/2 ist??
Wie ich von dem Brennpunkt auf die Leitgerade komme habe ich verstanden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Abstand des Brennpunktes von der Leitgeraden ist p, der Scheitel der Parabel halbiert diesen.
Ankat Auf diesen Beitrag antworten »

Achso... Dann versteh ichs Big Laugh
Dann ist der Brennpunkt bei der Parabel y=ax² B(0;p/2) und die Letgerade ist y=-p/2
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst jetzt schon bei deinem a bleiben, das wolltest du doch so, oder?

Nachdem 2p die Stelle von 1/a angenommen hat, ist p/2 gleich 1/4a.
Somit lautet der Brennpunkt F (0; 1/4a) und die Gleichung der Leitgeraden y = -1/(4a)

EDIT: Fehler berichtigt! Der Zusammenhang von p und a war falsch angegeben! Das wird unten genauer erläutert!
Ankat Auf diesen Beitrag antworten »

Achso stimmt, habe ich nicht drauf geachtet. Dann versuche ich mal ob ich die Aufgabe nun hinbekomme smile
Schonmal vielen Dank für die Hilfe!! Werde sie aber bestimmt nochmal brauchen Big Laugh
Ankat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brauche noch nochmal eure Hilfe smile
Also ich habe jetzt Brennpunkt F(0;a/4) , Leitgerade y=-a/4 , Parabel y=ax^2. Der Punkt P1 kann doch (x;ax^2) sein oder?
Dann habe ich als Punkt auf der leitgeraden G(0;-a/4) gewählt. Anschließend habe ich die gerade durch P1 und G bestimmt. Dort kommt y=(ax-a/4x)x+a/4 => y=ax^2 raus. Kann dass sein?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir Leid, dass ich vordem den Zusammenhang von p und a falsch angeben hatte. Das kam daher, dass deine Parabel im Vergleich zur Parabel um 90° gedreht ist und sich daher die Stellen von x und y umkehren.

Richtig ist nun:

Parabel

Somit ist: F(0; 1/(4a)) und die Leitlinie: y = -1/(4a)

In diesem Falle gehe lieber doch so vor, wie von riwe beschrieben, also lege durch F eine beliebige Gerade (mit der Steigung m) und schneide sie mit der Parabel. In den erhaltenen zwei Schnittpunkten bestimme die beiden Steigungen k1, k2 und zeige zunächst, dass deren Produkt gleich -1 ist.

Gerade durch F:

Schnitt mit der Parabel:

Steigungen der Tangenten in den Schnittpunkten: (denn die Ableitung der Parabelgleichung ist y' = 2ax)

Die beiden erhaltenen Werte für die Steigungen k1 und k2 multipliziere miteinander und du solltest -1 erhalten.

Letztendlich bestimmst du die Gleichung der Tangenten in diesen beiden Schnittpunkten (Punkt und Richtung sind bekannt) und zeigst, dass deren Schnittpunkt auf der Leitgeraden liegt (sein y-Wert muss -1/(4a) betragen).

mY+
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