Kern 5x5-Matrix

17.06.2012, 19:46

Si5ypho5

Kern 5x5-Matrix

Ich muss den Kern zweier Matrizen bestimmen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -12 & -8\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0 & -12 & -8\\ 12& 0 & 0 &-20 &-24\\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 0 & -8 & 0 & 0 & -24\\0 & -4 & 0 & 0 & 16\\ -4 & 4 & 4 & 0 &0\\ -4& 0 & 0 & 0 &16\\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch Gauß erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} A\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 &0 &0 &1 &0\\ 0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 &1 &0 &0 &0\\ 0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich ja $\begin{eqnarray*} dim(ker(A))=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim(ker(B))=2 \end{eqnarray*}$ . Als Lineares Erzeugnis der Basis kann ich jetzt ablesen:

$\begin{eqnarray*} ker(A)=<\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix},?,?> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ker(B)=<\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix},?> \end{eqnarray*}$

Wie erhalte ich die fehlenden 2 bzw. den fehlenden Vektor für das lineare Erzeugnis der Basis?

17.06.2012, 19:54

Captain Kirk

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Scharf die Nullspalten anschauen.

17.06.2012, 20:00

Si5ypho5

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17.06.2012, 20:03

Captain Kirk

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Weil heute schönes Wetter ist habe ich einen netten Tag.
Bitte formuliere deinen Gedanken in Sätzen, oder wenigstens Worten.

17.06.2012, 22:29

Si5ypho5

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Ich meinte damit, was du mit auf die Nullspalten scheuen meinst.. :-/

17.06.2012, 22:40

Captain Kirk

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Wann liegt ein Vektor im Kern einer Matrix M?
Multiplizier mal deine umgeformten Matrizen mit einem allgemeinen Vektor.

Und wenn das nicht hilft. Verwende den richtigen Gauß-Algorithmus und nicht bloß die hälfte davon.

17.06.2012, 23:16

Sisyphos

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Wenns ein homogenes GLS ergibt. Also Av=0
Meinst du mit allgemeinem Vektor einen mit nur 0 und einer 1?

Laut Wolfram Alpha fehlen folgende Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}4\\4\\-2\\0\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.06.2012, 23:23

Captain Kirk

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Zitat:

Meinst du mit allgemeinem Vektor einen mit nur 0 und einer 1?

Nein, das ist das genaue Gegenteil von Allgemein. Das ist ein spezieller Vektor.

Und natürlich hat WolframAlpha recht. Diese drei Vektoren bilden eine Basis des Kerns von A. Es fehlen aber keine Vektoren.

Ich hege den starken Verdacht das du das Gauß-Verfahren noch nicht verinnerlicht hast. Und da es eines wichtigsten Verfahren ist, schau's dir nochmal genau an.

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