Geg.: Punkt und f(x)=f'(x)/2 Gesucht: alle möglichen Funktionen

17.06.2012, 20:50	Maike90	Auf diesen Beitrag antworten »
Geg.: Punkt und f(x)=f'(x)/2 Gesucht: alle möglichen Funktionen Zu bestimmen sind diejenige Funktion y(x) bei denen die Steigung der Normalen in jedem Punkt (x,y) der Fkt. halb so groß wie die Fkt.werte sind und die an der Stelle x=1 den Fkt.wert y=0 haben. Ich würde das grad noch so für alle quadratischen Funktionen z.b. hinbekommen. Also f(x)=ax^2+bx+c f'(x)=2ax+b und f'(x)=f(x)/2 und ein Punkt ist ja auch gegeben....damit könnte ich dann die Aufgabe für quadratische Funktionen lösen, aber ich soll alle Lösungen finden und das bekomm ich nicht hin. Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll. Es könnten doch auch Sinus-, Kosinus-Fkt. alle Bedingungen erfüllen oder x^n+x^n-1 usw. Würd mich über einen Ansatz riesig freuen
17.06.2012, 23:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der allgemeine Ansatz führt auf eine (einfache) Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} -\frac 1 {y'} = \frac y 2 \end{eqnarray}$ welche mittels Trennung der Variablen lösbar ist (Randbedingungen x = 1, y = 0 ergeben C) mY+
19.06.2012, 17:59	Maike90	Auf diesen Beitrag antworten »
danke damit komm ich auf y=Wurzel(4-4x) was auch stimmen sollte. der Definitionsbereich ist dann x<=1 dann gibs noch die Frage: Wieviele Fkt mit dieser Eigenschaft gibt es? gibs nur die die ich raus hab oder noch eine?
20.06.2012, 00:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den gegebenen Anfangsbedingungen (x = .. ; y = .. ) gibt es nur diese eine Funktion. mY+

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