Beweis mit Hilfe des Skalarproduktes

10.07.2004, 12:53	Flashhead	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Hilfe des Skalarproduktes Ich habe ein dringendes Anliegen: Ich muss bis zum Ende des Wochenendes folgende Aufgabe lösen: "In einem Tetraeder sind alle Kanten gleich lang und alle von den Kanten eingeschlossenen Winkel gleich groß. Bewiesen Sie, dass je zwei gegenüberliegende Kanten zueinander orthogonal sind." Ich habe den Tetraeder gezeichnet und habe das Dreieck, das die Grundseite bildet, mit Hilfe von zwei l. u. Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ aufgezogen. Nach oben (also so, dass der Tetraeder im Raum steht) habe ich den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ eingeführt. Die Voraussetzung lautet somit: $\begin{eqnarray} \|\vec{a}\| = \|\vec{b}\| = \|\vec{c}\| \end{eqnarray}$ Eine der Behauptungen lautet: $\begin{eqnarray} \vec{b} (\vec{c}-\vec{a}) = 0 \end{eqnarray}$ Mit dieser Behauptung möchte ich die Orthogonalität zwischen $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und der gegenüberliegenden, nach oben zeigenden Seite, die ich nicht durch einen eigenen Vektor ausgedrückt habe (sondern durch $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ ), beweisen. Mein Problem ist, dass ich ja die Voraussetzung $\begin{eqnarray} \|\vec{a}\| = \|\vec{b}\| \end{eqnarray}$ nur in $\begin{eqnarray} \vec{a}^2 = \vec{b}^2 \end{eqnarray}$ überfahren darf, oder? Könnte mir mal jemand vorrechnen, wie er diese Orthogonalität nachweist? Ich komm nur soweit: $\begin{eqnarray} \vec{b}\vec{c} - \vec{a}\vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$ Aber wie mach ich jetzt weiter? Ich hoffe schwer, dass ihr mir helfen könnt. Gruß, Daniel P.S.: Ich hoffe, dass ihr mir nicht böse seid, wenn ich hier, wenn wir dieses Problem gelöst haben, eventuell noch nach weiteren Hilfestellungen bei Problemen frage.
10.07.2004, 13:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schätze, du hast einfach nicht alle Voraussetzungen eingesetzt: Es sind ja nicht nur 3 Kanten des Tetraeders gleich lang, sondern alle sechs Kanten. Bei dir hieße das: $\begin{eqnarray} \vec{a}^2 = \vec{b}^2 = \vec{c}^2 = (\vec{a}-\vec{b})^2 = (\vec{a}-\vec{c})^2 = (\vec{b}-\vec{c})^2 \end{eqnarray}$ Damit müßte es doch gehen.
10.07.2004, 14:09	Flashhead	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach je, klar, dann wird's simpel. Muss ich denn die Orthogonalität für jedes "Paar" beweisen, oder reicht das einmal exemplarisch?

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