Grenzwert berrechnen mit Taylorreihe

18.06.2012, 09:37	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berrechnen mit Taylorreihe Guten Morgen ich würde gerne den Grenzwert berechnen von $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \to 0} \frac 1 {\sin x} - \frac 1 {x^2} = \frac{x^2 - \sin x}{x^2 \cdot \sin x} \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Taylorreihen-Entwicklung. Meistens nimmt ja als Entwicklungspunkt die 0. Die Taylorreihe ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} f(x) = \sum \limits_{k=0}^{n} \frac {f^{k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0) + R_n(x) \end{eqnarray}$ Mit x_0 als Entwicklunspunkt. Und schon habe ich ein Problem: Wenn ich die 0 im ersten Summanden einsetzen will, kommt im Nenner eine Null. Folglich kann ich die Taylorreihe hier nicht anwenden oder wie?
18.06.2012, 11:15	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
der Sinus selbst hat ja eine Potenzreihenentwicklung. $\begin{eqnarray} \sin x \approx x- \frac 16 x^3 +\frac 1 {120}x^5 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ ist x eine gute Näherung.Deshalb $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \left(\frac 1 x -\frac 1 {x^2} \right) \end{eqnarray}$ und das müsste doch lösbar sein.
18.06.2012, 14:37	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich hatte im Nenner etwas vergessen: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \to 0} \frac 1 {\sin^2 x} - \frac 1 {x^2} = \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \cdot \sin^2 x} \end{eqnarray}$ Also Sinus zum Quadrat, das ändert doch einiges oder? x dürfte dann nicht mehr als Näherung genügen (?)
18.06.2012, 16:13	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, dann eben: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\left( \frac {1}{(x-\frac 16 x^3)^2} -\frac 1 {x^2}\right) \end{eqnarray}$ und daraus einen gebrochen rationalen Term machen.
18.06.2012, 16:28	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ja, aber warum kann ich dann nicht für 1/sin² auch schreiben 1/(x²) als Abschätzung um dann zu schlussfolgern, dass der Grenzwert insgesamt gegen 0 geht?
18.06.2012, 16:38	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Das äussere Quadrat erfordert eine höhere Genauigkeit der Approximation: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\left( \frac {1}{(\color {red} {x-\frac 16 x^3} \color {black} )^2} -\frac 1 {x^2}\right) \end{eqnarray}$
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18.06.2012, 16:53	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke Dann der Vollständigkeit halber meine Rechnung $\begin{eqnarray} \lim \limits_{x \to 0} \frac 1 {sin^2 x} - \frac 1 {x^2} = \lim \limits_{x \to 0} \frac 1 {(x-\frac 1 6 x^3)^2} - \frac 1 {x^2} = \lim \limits_{x \to 0}\frac{1-1 + \frac 1 3 x^2 + \frac 1 {36} x^4}{x^2 - \frac 1 3 x^4 + \frac 1 {36}x^6} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\frac 1 3 - \frac 1 {36}x^2}{1- \frac 1 3 x^2 + \frac 1 {36}x^4} = \frac 1 3 \end{eqnarray}$ Ich hoffe es ist so richitg. Nochmals vielen Dank
18.06.2012, 16:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles korrekt!

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