Zufallsvariable gemäß F verteilt

18.06.2012, 15:24

Gast11022013

Zufallsvariable gemäß F verteilt

Meine Frage:
Hallo!

Was bedeutet es eigentlich, wenn man so salopp dahersagt:

"Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sei gemäß einer stetigen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ verteilt." ?

Meine Ideen:
Meiner Meinung nach spricht man dann von einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ und einer $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\setminus\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ -meßbaren Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X\colon\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ derart, daß die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} P_{X} \end{eqnarray*}$ (das Bildmaß von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ) eindeutig festgelegt ist durch $\begin{eqnarray*} F_{P_X}\colon\mathbb{R}\to [0,1],c\mapsto P((-\infty,c]) \end{eqnarray*}$ und das bedeutet ja, da $\begin{eqnarray*} F_{P_X}=F_X \end{eqnarray*}$ , eindeutig festgelegt durch die als stetig angenommene Funktion $\begin{eqnarray*} F_X:\mathbb{R}\to [0,1], F_X(c):=P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ .

...

Das bedeutet: Man meint, daß die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eindeutig festgelegt ist durch die (stetige) Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt verstanden?

18.06.2012, 15:41

Math1986

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RE: Zufallsvariable gemäß F verteilt
Salopp gesagt ist das zu einer Zufallsvariablen gehörige Wahrscheinlichkeitsmaß eineindeutig durch dessen Verteilungsfunktion bestimmt. Die Verteilungsfunktion gibt ja die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen auf einem Erzeuger der borel-Sigma-Algebra an, nach Caratheodory ist das Maß dann auf die komplette Sigma-Algebra festgelegt.

18.06.2012, 15:44

Gast11022013

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RE: Zufallsvariable gemäß F verteilt

Zitat:

Original von Math1986
Salopp gesagt ist das zu einer Zufallsvariablen gehörige Wahrscheinlichkeitsmaß eineindeutig durch dessen Verteilungsfunktion bestimmt.

Das hatte ich doch geschrieben, oder?

18.06.2012, 15:59

Math1986

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RE: Zufallsvariable gemäß F verteilt
Hast du bis dahin ja auch. Ich wollte nur auf den Maßfortsetzungssatz von Carathéodory hinaus.

18.06.2012, 16:13

HAL 9000

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@Dennis2010 (Off-topic)

Ob nun berechtigt oder nicht, gelegentlich haben wir alle wohl mal den Eindruck, dass Beiträge nicht richtig durchgelesen werden. Augenzwinkern

18.06.2012, 19:48

Gast11022013

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Uups, sorry. geschockt

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Zufallsvariable gemäß F verteilt

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