Untervektorraum ermitteln

18.06.2012, 16:11

Michael K

Untervektorraum ermitteln

Meine Frage:
Es sei (Vektor x) Element aus R(hoch n). Ermitteln Sie, welche der folgenden Mengen Unterraume des
Rn
sind.
a) Ua = (Vektor x \in \mathbb R n | x>= 0) \in

Meine Ideen:
Ich such für derartige Aufgaben den AHA! Effekt und hoffe ich liege richtig:
Zu der Aufgabe war mein Gedankengang der folgende; Die Multiplikation zweier solcher Vektoren muss >= o sein und auch die addition muss >= 0 sein.
Also kommen nur Vektoren in Frage mit x1 ... xn >= 0 sind.

Danke für antworten! smile

18.06.2012, 16:20

DP1996

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Ich nehme an, du meinst $\begin{eqnarray*} U_a=\left\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n|x\geq0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Dann stellt sich für mich zuerst mal die Frage, ob du mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (hinter dem "für die gilt"-Strich in der Menge) den Vektor meinst (was hieße dann $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?) oder eine beliebige Vektorkomponente.

18.06.2012, 16:36

MichaelKut

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Ich habe eben dummerweise festgestellt, dass bei der Aufgabe hinter dem "für die gilt" strich es heissen soll:

x1 >= 0

heißt das aber denn nicht einfach dass die Menge aller vektoren dort hineinfallen mit x1 >= 0 ?

18.06.2012, 16:40

DP1996

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Ja heißt es. (alle Vektoren, deren erste (oder oberste) komponente nichtnegativ ist)

Was musst du überprüfen, um festzustellen, ob das ein Untervektorraum ist?

18.06.2012, 16:48

MichaelKut

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die multiplikation mit einem skalar muss weiterhin im VR sein und die addition eines solchen vektors ebenfalls. das ist der fall, sofern ein beweis mittels beispiels ausreicht.

mein beispiel war:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.06.2012, 16:54

DP1996

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Zitat:

die multiplikation mit einem skalar muss weiterhin im VR sein und die addition eines solchen vektors ebenfalls. das ist der fall, sofern ein beweis mittels beispiels ausreicht.

Der zweite Satz ist falsch:
Du kannst es widerlegen, indem du ein Beispiel bringst, für das der erste Satz nicht gilt. umgekehrt musst du aber zeigen, dass dein erster Satz für alle Vektoren und Skalare gilt.

18.06.2012, 17:06

MichaelKut

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ok und wie mache ich das allgemein?

mein ansatz:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x_{1} \geq 0 \left(\lambda ,x_{1} \geq 0\right) \end{eqnarray*}$

18.06.2012, 17:16

DP1996

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Die Notation ist ein bisschen ausbaufähig:
Du sagst: Sei $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, x_1\geq 0 \end{eqnarray*}$
Die Frage ist jetzt, ob für alle $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt, dass auch $\begin{eqnarray*} \lambda x_1\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist (Wir wissen ja noch nicht, ob das auch tatsächlich stimmt)...

Soviel zum allgemeinen.

In diesem konkreten Fall ist jedoch die gegebene Menge kein Unterraum, d.h. du brauchst lediglich ein Gegenbeispiel in Form zweier Vektoren bzw. eines Vektors und eines Skalars anzugeben, für die die Summe der Vektoren bzw. das Produkt aus Skalar und Vektor nicht mehr in der Menge liegt. Das findet man recht leicht, indem man obigen Ansatz weiterdenkt.

18.06.2012, 17:51

MichaelKut

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soso

also dann ist das ja nicht der fall bei lamba < 0

also würde ich schreiben

U_{a} ist kein UVR, da

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \vec{x} | \lambda <0 \end{eqnarray*}$
folgt
$\begin{eqnarray*} x_{1} <0 \end{eqnarray*}$

??

19.06.2012, 13:54

DP1996

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$\begin{eqnarray*} \lambda<0 \end{eqnarray*}$ ist die richtige Idee.

Der Notation nach zeigst du aber grade, dass $\begin{eqnarray*} x_1<0 \end{eqnarray*}$ ist. Korrekterweise müsstets du natürlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ existiert so, dass $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot x_1 < 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das machst du am besten, indem du Konkret ein Gegenbesiepiel anbrignst, z. Bsp. $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \in U_a \subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = -1 \end{eqnarray*}$ . Daraus schließt du dann, dass die Menge kein Unterraum ist.

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