Injektivität einer mehrdimensionalen Funktion

18.06.2012, 16:31

2000Micha2000

Injektivität einer mehrdimensionalen Funktion

Meine Frage:
Hallo,

leider bin ich im Internet nicht fündig geworden.deshalb hier meine Frage:

Ist es möglich eine injektive Funktion mit mehreren Eingängen (in meinem Fall 3) und einem Ausgang zu erstellen???

Meine Ideen:
Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass Injektivität nur gegeben sein kann wenn die Anzahl der Ausgänge größer als die Anzahl der Eingänge ist.
Desweiteren bin ich zu keiner Idee gekommen wie man eine mehrdimensionale Funktion auf Injektivität prüfen kann.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen oder mir einen Denkanstoß geben. Ich hab das Gefühl dass ich irgendwie auf dem sprichwörtlichen Schlauch stehe.
Danke im Voraus.
Grüße,
Micha

18.06.2012, 16:49

Captain Kirk

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Hallo,

die Antwort auf die Frage hängt stark davon ab aus welchen Mengen die "Eingänge" und "Ausgänge" kommen.

Es gibt aber z.B. injektive Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
(mir fällt aber grade keine ein. Es gibt eine, da Quell- und Zielmenge der Abbildung gleiche Mächtigkeit haben.)
Hat man statt der reellen Zahlen eine endliche Menge gibt's keine injektive Abbildung.

Zitat:

Desweiteren bin ich zu keiner Idee gekommen wie man eine mehrdimensionale Funktion auf Injektivität prüfen kann.

Für spezielle Funktionstypen gibt's spezielle Methoden. Im Allgemeinen geht's aber direkt über die Defintion.

19.06.2012, 10:47

Michamicha

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Hi,

erstmal danke für die Antwort. Ich habe nochmal ein wenig hin und her überlegt aber ich komme nicht drauf wie so eine Funktion aussehen könnte (R3->R).
Kannst du mir vielleicht ein Beispiel oder Literaturempfehlungen geben.

Meine 3 Eingänge sind übrigens reell und liegen zwischen 0 und 50.

19.06.2012, 11:58

Huggy

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Wenn man nur Injektivität will, nicht aber Bijektivität, lässt sich eine solche Abbildung leicht konstruieren. Es sei z. B. $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in (0,1) \end{eqnarray*}$ . Dann stelle man x und y durch ihre Dezimalbruchentwicklungen dar:

$\begin{eqnarray*} x=0.x_1x_2x_3... \quad y=0.y_1y_2y_3... \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i, y_i \in \{0,1, ..., 9\} \end{eqnarray*}$

Man mache die Darstellung eindeutig, indem man Periode 9 verbietet. Die Abbildung

$\begin{eqnarray*} z=f(x,y)=0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3... \end{eqnarray*}$

bildet das Quadrat $\begin{eqnarray*} (0, 1) \times (0,1) \end{eqnarray*}$ injektiv auf das Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ ab. Das lässt sich leicht auf 3 und mehr Variablen ausdehnen. Wenn man Bijektivität will, muss man sich ein wenig mehr anstrengen.

19.06.2012, 12:12

Mystic

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@Michamicha

Mein Standardbeispiel - wobei ich jetzt nicht weiß, ob es deinen Vorstellungen entspricht, da es von natürlichen Zahlen handelt - ist das folgende

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N \text{ mit } (x,y) \mapsto (2x+1)2^y \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist sogar bijektiv und sie spielt in meinem Lieblingsbeweis, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ der Primzahlen unendlich ist, eine wichtige Rolle... Augenzwinkern

Edit: Man muss außerdem noch 1 subtrahieren, damit auch die 0 im Bild vorkommt (s. Anmerkung von Huggy)...

19.06.2012, 13:33

Huggy

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Wenn man die natürlichen Zahlen mit 0 beginnen lässt, ist auf der rechten Seite noch 1 zu subtrahieren, damit das wirklich bijektiv ist. Sonst taucht die 0 nicht als Bild auf.

19.06.2012, 14:42

Mystic

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Zitat:

Original von Huggy
Wenn man die natürlichen Zahlen mit 0 beginnen lässt, ist auf der rechten Seite noch 1 zu subtrahieren, damit das wirklich bijektiv ist. Sonst taucht die 0 nicht als Bild auf.

Ja, sorry, das hatte ich tatsächlich vergessen... unglücklich

Außerdem stimmt nicht, dass diese Funktion in meinem Lieblingsbeweis für die Unendlichkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ eine Rolle spielt, aber das nur nebenbei...

20.06.2012, 09:54

Michamicha

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Danke für die Ideen! Mal sehen was ich damit erreichen kann.

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