Zerfällungskörper

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Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper
Hi,

ich brauche dringend eure Hilfe.

Also es geht um folgendes: Wir haben zwei irreduzible Polynome vom Grad 3, nennen wir sie und . Diese Polynome sind Elemente in , wobei ein Körper ist.

Die Diskriminante von sei
und die Diskriminante von sei .

Wir definieren:

Zerfällungskörper von

Zerfällungskörper von

Behauptung: Dann gilt:

Ich glaube, ein guter Weg, das zu beweisen ist das "Ausschlussprinzip".

  • Also man müsste zuerst den Fall ausschließen, dass der Grad von gleich 3 über ist, das kann nur passieren, wenn die Zerfällungskörper übereinstimmen (oder?).
  • Und dann gibt es die quadratischen Körper von der Form bzw. und da das Vorzeichen der Diskriminanten verschieden ist, ist ein Körper reell, der andere imaginär, also der Schnitt gleich K. Aber gibt es noch quadratische Körper, die nicht von obiger Form sind?
  • Dann bleibt nur der Fall über, dass der Schnitt der Zerfällungskörper Grad 1 hat über K, also mit K selbst übereinstimmt.


Aber wie schließe ich die Fälle grad=3 und grad=2 korrekt aus?

Vielen Dank im Voraus!

Viele Grüße,

Martin
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper
Hallo,

Kennst du schon den Hauptsatz der Galoistheorie?
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja, kenne ich. Aber inwiefern hilft mir der weiter?

Viele Grüße,

Martin
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Die Körper und haben Grad 3 oder 6 über K, als Galoisgruppen kommen erstmal jeweils oder in Frage.
Wie du richtig festgestellt hast, sind die Teilkörper, die durch Adjunktion der Wurzel aus der Diskriminante entstehen, ungleich. Falls der Schnitt Grad 2 über K hätte, käme nur in Frage, dass beide Galoisgruppen isomorph sind. hat aber nur eine 3-elementige Untergruppe, somit gibt es auch jeweils nur einen Zwischenkörper, der Grad 2 über K hat, nämlich gerade den mit der Wurzel der Diskriminante. Also kann der Schnitt der Zerf.Kp. nicht Grad 2 über K haben.
Außerdem sind die 2-elementigen Untergruppen von keine Normalteiler, woraus folgt, dass nicht einer der Zerf.Kp. im anderen enthalten sein kann.
Bleibt noch der Fall, dass beide Zerf.Kp. Grad 6 über K haben und der Schnitt Grad 3 über K. Der ist also nicht normal über K. Wähle dir ein erzeugendes Element , zeige dass der Zerf.Kp. von sowohl gleich als auch gleich ist.
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.

Da ich in Algebra noch nicht recht fortgeschritten bin und mir ein paar Sachen noch unklar sind, würde ich gerne noch ein paar Fragen stellen:

Also du schreibst:

"Falls der Schnitt der Zerfällungskörper Grad 2 über hätte, käme nur in Frage, dass beide Galoisgruppen isomorph zu sind."

Ist das deshalb so, weil als Zwischenkörper einen Grad über haben muss, der mit der Ordnung einer Untergruppe der Galoisgruppe übereinstimmt? Wenn also gilt, dann muss die Galoisgruppe bzw. eine Gruppe sein, die eine Untergruppe der Ordnung 2 hat. Aber nur die hat so eine Untergruppe der Ordnung 2, nämlich und die hat nur die trivialen Untergruppen und , also wegen und keine der Ordnung 2. Ist das die richtige Begründung?

Im nächsten Satz schreibst du " hat aber nur eine 3-elementige Untergruppe [...]". Ist das ein Schreibfehler und müsste eigentlich "2-elementige Untergruppe" heißen (sonst würde das, was danach kommt, keinen Sinn ergeben)?

Was mir auch noch nicht klar ist: Warum müssen die Zwischenkörper vom Grad 2 über K zwangsläufig die Form bzw. haben? Ich meine, warum gibt es keine anderen quadratischen Zwischenkörper, die irgendwie anders aussehen? Und dann gibt es ja noch den doofen Fall, dass die Diskriminanten Quadrate in K sind. Dann ist doch der Schnitt der Zerfällungskörper evtl. größer als , oder?

Den Fall, dass beide Zerfällungskörper den Grad 6 über K haben und der Schnitt Grad 3 über K hat, hab ich noch nicht gemacht. Da bräuchte ich bitte noch einen Tipp (das mit dem erzeugenden Element verstehe ich nicht).

Vielen Dank für deine Hilfe!

Gruß,
Martin
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin-neu
Ist das deshalb so, weil als Zwischenkörper einen Grad über haben muss, der mit der Ordnung einer Untergruppe der Galoisgruppe übereinstimmt? Wenn also gilt, dann muss die Galoisgruppe bzw. eine Gruppe sein, die eine Untergruppe der Ordnung 2 hat. Aber nur die hat so eine Untergruppe der Ordnung 2, nämlich und die hat nur die trivialen Untergruppen und , also wegen und keine der Ordnung 2. Ist das die richtige Begründung?

So in etwa kann man es machen. Allerdings: Du sprichst über , das muss es nicht geben, da nicht galoisch sein muss. Anstatt mit der Galoistheorie würde ich für diesen Schritt den (elementareren) Gradsatz nehmen. Aus diesem folgt, dass jeder Zwischenkörper einer Körpererweiterung einen Grad über dem Grundkörper hat, der den Grad der Körpererweiterung teilt.

Zitat:
Im nächsten Satz schreibst du " hat aber nur eine 3-elementige Untergruppe [...]". Ist das ein Schreibfehler und müsste eigentlich "2-elementige Untergruppe" heißen (sonst würde das, was danach kommt, keinen Sinn ergeben)?

Kein Schreibfehler. Eine Untergruppe H der Galoisgruppe G einer Körpererweiterung ist die Galoisgruppe von wobei der Fixkörper von H ist. Die Ordnung der Galoisgruppe entspricht also dem Grad ,nicht dem Grad
Und die Körpererweiterung ist dabei genau dann normal, wenn H Normalteiler von G ist.

Zitat:
Was mir auch noch nicht klar ist: Warum müssen die Zwischenkörper vom Grad 2 über K zwangsläufig die Form bzw. haben? Ich meine, warum gibt es keine anderen quadratischen Zwischenkörper, die irgendwie anders aussehen? Und dann gibt es ja noch den doofen Fall, dass die Diskriminanten Quadrate in K sind. Dann ist doch der Schnitt der Zerfällungskörper evtl. größer als , oder?

Ich habe ja schon erwähnt, dass es nur höchstens einen Zwischenkörper geben kann, der quadratisch über K ist. Wenn die Wurzel der Diskriminante in K liegt, dann hat der Zerfällungskörper nur Grad 3 über K. Das kann man z.B. daran sehen, dass diese Wurzel, die gleich ist ( die Nullstellen des Polynoms), dann von den Homomorphismen der Galoisgruppe festgelassen wird. Diese entsprechen in ihrer Wirkung auf die Nullstellen Permutationen aus Aber Transpositionen von zwei der Nullstellen lassen das nicht fest (ergibt das Negative), also kann die Galoisgruppe dann nicht die volle Gruppe sein.

Zitat:
Den Fall, dass beide Zerfällungskörper den Grad 6 über K haben und der Schnitt Grad 3 über K hat, hab ich noch nicht gemacht. Da bräuchte ich bitte noch einen Tipp (das mit dem erzeugenden Element verstehe ich nicht).

Was genau verstehst du denn nicht?
 
 
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

bevor ich zum zweiten Teil schreite, ist mir aufgefallen, dass ich ein Detail noch nicht verstanden habe:

Du hast geschrieben:
"Außerdem sind die 2-elementigen Untergruppen von keine Normalteiler, woraus folgt, dass nicht einer der Zerf.Kp. im anderen enthalten sein kann."

Ist das ein bekannter Satz aus der Galois-Theorie?
Das sagt mir nämlich auch nichts. Also, wenn die Untergruppe der Galoisgruppe der Körpererweiterung über (bzw. über ) keinen Normalteiler hat, dann sind und keine normalen Erweiterungen, also auch nicht galoissch. Und es muss dann gelten?! Wie lautet denn davon die "allgemeinere Variante"? Das ist mir wie gesagt nicht bekannt...

Danke und viele Grüße,
Martin
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin-neu
Das sagt mir nämlich auch nichts. Also, wenn die Untergruppe der Galoisgruppe der Körpererweiterung über (bzw. über ) keinen Normalteiler hat,

wenn H kein Normalteiler in G ist
Zitat:
dann sind und keine normalen Erweiterungen, also auch nicht galoissch.

Ja. Wobei die Galoisgruppen von f und g natürlich i.a. verschieden sind, also auch die Untergruppen (H kommt nicht in beiden als Untergruppe vor), sie sind nur in dem betrachteten Fall beide isomorph.

Zitat:
Und es muss dann gelten?! Wie lautet denn davon die "allgemeinere Variante"? Das ist mir wie gesagt nicht bekannt...

Es ist nur der Hauptsatz und der erwähnte Zusammenhang zwischen Normalteilern und Normalkörpern, weiter nichts. Sagen wir es gilt und (Das ist der Fall, von dem ich meinte, dass man ihn so ausschließen kann.) Dann entspricht doch der Zwischenkörper der Körpererweiterung einer Untergruppe der Galoisgruppe von g über K. Da normal ist, ist diese Untergruppe ein Normalteiler. Da , hat die Gruppe Ordnung 2. Es gibt aber keine Normalteiler der Ordnung 2 in der zu isomorphen Galoisgruppe von g.
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu dem Fall



hab ich noch eine Frage.

Rein theoretisch muss gelten.

Aber warum hast du einfach so ausgeschlossen, dass der Grad 2 oder 6 ist und nur den Fall erwähnt, dass der Grad 3 sei?

Ist das trivial? Ich zumindest sehe das nicht so.

Viele Grüße

Martin
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, vergiss' das letzte Posting einfach.

Folgende zwei Fälle hab ich noch nicht:



und



Zum ersten Fall hast du mir ja schon einen Tipp mit dem erzeugenden Element gegeben (auch wenn ich das noch nicht bewiesen habe) und warum kann man den zweiten Fall, dass alle Grade gleich 3 sind, ausschließen?

MFG

Martin
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch schon in deinem ersten Post bewiesen, dass einen Teilkörper vom Grad 2 über K besitzt. Somit kann nicht sein.
Tipp: Der Gradsatz gehört zu den absoluten Basics zum Thema, den sollte man gut können!
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, aber der Fall



würde dem Gradsatz nicht widersprechen.

Diesen Fall haben wir bisher überhaupt nicht beachtet.

Warum ist er ausgeschlossen? Müsste dann gelten?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Martin-neu
Warum ist er ausgeschlossen? Müsste dann gelten?

Ja, natürlich. Das ist auch wieder der Gradsatz.
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mir ist noch was aufgefallen. Beim dem Fall, dass der Durchschnitt der Zerfällungskörper über K den Grad 2 hat, stimmt die Schlussfolgerung nicht.

Sei und wie vorher. Dann gilt aber nicht notwendig

, denn der Durschnitt kann auch größer als sein.

Wie kann man den Beweis für Grad 2 noch retten?

Viele Grüße

Martin
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wende doch bitte einmal erst den Gradsatz an, bevor du nachfragst. böse
Der Durchschnitt ist ein Zwischenkörper der Erweiterung
Martin-neu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sorry. Ich versuche, in Zukunft länger über die Sachen nachzudenken, bevor ich nachfrage. Den Gradsatz werd' ich mir ganz tief einprägen :-)
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