Flächeninhalt Kugelkalotte in unendlichem Kegel- Integral

18.06.2012, 16:05	ninajohanna	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt Kugelkalotte in unendlichem Kegel- Integral Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: R= Einheitskugel K=z>wurzel(x^2+y^2) , d.h. ein unendlicher Kegel Ich soll nun den Flächeninhalt der Kugelkalotte ebstimmen, die sich innerhalb des Kegels befindet. Folgendes habe ich mir überlegt: Ich parametrisiere den Kegel a(u,t)= (tcosu, tsinu,t) t müsste von 0 bis 1 gehen und der Winkel u von -pi/4 bis pi/4, dann würde ich quasi das Oberflächenintegral ausrechnen. (d.h. Integral über Betrag vom Kreuzprodukt von a abgeleitet nach u mit a abgeleitet nach t). Stimmt das so oder habe ich gedankliche Fehler in meiner Überlegung? Gruß Nina
19.06.2012, 07:25	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gesucht ist die Fläche eines Teils der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r. Diese berechnet man bekanntlich mit dem Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} A=\int_{\phi=0}^{\phi} \int_{\theta=0}^{\theta}r^2 \sin(\theta) \,\, d\theta d\phi \end{eqnarray}$ Da die Kalotte bezüglich der z-Achse rotationssymmetrisch ist, muss man im äußeren Integral bis $\begin{eqnarray} \phi=2\pi \end{eqnarray}$ integrieren. Da der Öffnungswinkel des Kegels 90° beträgt, muss im inneren Integral bis $\begin{eqnarray} \theta=\tfrac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ integriert werden (Für die gesamte Kugeloberfläche müsste man bis $\begin{eqnarray} \theta=\pi \end{eqnarray}$ integrieren). Da deine Kalotte den Radius r=1 hat, haben wir also das Integral $\begin{eqnarray} A=\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/4}\sin(\theta) \,\, d\theta d\phi \end{eqnarray}$ Rechne dies aus!

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