Partielle Ableitung - implizite Abhängigkeit

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Ratloser No. 1 Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitung - implizite Abhängigkeit
Heho, ich bin mehr und mehr verwirrt:

Wie verträgt sich die mehrdimensionale Kettenregel mit folgendem Absatz:
de . wikipedia . org/wiki/Partielle_Ableitung#Partielle_und_totale_Ableitung_nach_der_Zeit

Einfach die Leerzeichen neben den Punkten löschen.

Es gilt ja auch bei der partiellen Ableitung die Kettenregel, hat man also etwa

f(x(u,v),y(u,v)) = irgendwas(immer angenommen die entsprechenden ableitungen existieren)
so wäre etwa die partielle ableitung nach u eben
gleich(ich ersetze jetzt hier das partielle ableitungssymbol durch jenes der gewöhnlichen ableitung, da ich den formeleditor hier nicht nutzen kann) df/dx*dx/du+df/dy*dy/du.

Ganz entsprechend müsste doch die partielle Ableitung einer Funktion der Form
f(x(t),y(t)) nach t: df/dx*dx/dt+df/dy*dy/dt sein, hier wieder das symbol der partiellen Ableitung denken, kann es nicht nutzen, sry.
Das ist aber doch im allgemeinen ungleich Null, entgegen der Behauptung von oben(das implizite Zeitabhängigkeit identisch ist mit einer verschwindenden partiellen Zeitableitung).
Ratloser No. 1 Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner ne Ahnung?
Oder soll ich es nochmal aufschreiben?
Ratloser No. 1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich niemand? schade unglücklich
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Ableitung - implizite Abhängigkeit
Zitat:
Original von Ratloser No. 1
Es gilt ja auch bei der partiellen Ableitung die Kettenregel, hat man also etwa

f(x(u,v),y(u,v)) = irgendwas(immer angenommen die entsprechenden ableitungen existieren)
so wäre etwa die partielle ableitung nach u eben
gleich(ich ersetze jetzt hier das partielle ableitungssymbol durch jenes der gewöhnlichen ableitung, da ich den formeleditor hier nicht nutzen kann) df/dx*dx/du+df/dy*dy/du.

Nein!
Natürlich gilt für die partielle Ableitung auch die Kettenregel, aber halt nur dort, wo die partielle Ableitung gebildet wird. Und die wird nur dort gebildet, wo die entsprechende Variable - u in deinem Beispiel - explizit auftaucht. In deinem Beispiel hängt f nicht explizit von u ab. Die partielle Ableitung nach u ist deshalb 0 und die Kettenregel kommt erst gar nicht zum tragen.
Was du hingeschrieben hast, ist die totale Ableitung nach u.
kingcools Auf diesen Beitrag antworten »

Heho, danke für deine Antwort.
So sehe ich das ebenso, wieso aber gilt dann folgendes:

http://up.picr.de/10916915fd.jpg

die Xi hängen auch nicht explizit von den Zi ab, dennoch ist die partielle Ableitung scheinbar ungleich Null.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist von der Symbolik her sicher verwirrend. Bei der Jacobi-Matrix bezieht sich die partielle Ableitung zunächst mal darauf, dass, wenn man nach einem ableitet, die anderen als konstant betrachtet werden sollen. Wenn nun die über Zwischenfunktionen von den abhängen, wird die in dem eben genannten Sinne partielle Ableitung nach normal nach der Kettenregel berechnet.
 
 
Ratloser No. 1 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo liegt der unterschied zu meiner funktion von oben(f(x(u,v)...))?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied liegt darin, dass es unterschiedlich gemeint ist. Das wird dich wahrscheinlich nicht zufriedenstellen. Aber die übliche mathematische Symbolik ist nun mal ein Kompromiss zwischen Eindeutigkeit und Zweckmäßigkeit. Meist hat man keine Probleme, aus dem Zusammenhang zu erkennen, wie die partielle Ableitung gemeint ist. Und bei der Jacobi-Matrix ist partiell nun mal nur bezüglich der Variablenliste gemeint, die im Nenner steht. Wollte man das völlig eindeutig notieren, müsste man an jede partielle Ableitung hinzuschreiben, welche eventuellen Abhängigkeiten gerade berücksichtigt oder nicht berücksichtigt werden sollen. Dann würde man aber auch mehrere unterschiedliche Gleichheitszeichen brauchen. Programme wie Maple oder Mathematica brauchen die auch, um zu erkennen, was das Gleichheitszeichen gerade bedeuten soll.
Ratloser No. 1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das erhellt bei mir kaum etwas^^
Danke für deine Mühe dennoch, also weiter:

Meinst du etwa z.B. die Tatsache das man f(y1(z1,...,zn),y2(z1,...,zn),...,yn(...)) als f(z1,z2,z3...,zn) schreiben kann? Die Darstellung der Funktion und ihrer Parameter ist ja in dieser Hinsicht eigentlich willkürlich.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ratloser No. 1
Hmm, das erhellt bei mir kaum etwas^^

Das habe ich befürchtet.
Die Bedeutung der partiellen Ableitung hängt davon ab, wie eine Funktion bezüglich der Variablen hingeschrieben wurde. Sie hängt nicht davon ab, wie man diese Funktion sonst noch schreiben könnte. Das wäre ja widersinnig. Da man dieselbe Funktion in vielerlei Formen mit zusätzlichen oder eliminierten Hilfsvariablen schreiben kann, hätte sie dann gar keine wohldefinierte Bedeutung.

Es ist also



und



Falls nun sein sollte, sind die beiden abzuleitenden Ausdrücke gleich. Trotzdem sind die beiden partiellen Ableitungen unterschiedlich, weil sie sich auf den Ausdruck in der Form beziehen, wie er gerade dasteht.

Bei der Definition der Jacobi-Matrix



steht nur eine Abhängigkeit von den da. Die konkrete Form der Abhängigkeit ist noch gar nicht angegeben. Diese Definition soll natürlich unabhängig davon sein, ob später mal die konkrete Abhängigkeit direkt oder über über irgendwelche Hilsgrößen angegeben wird, die wiederum von den abhängen. Das ist nur der Fall, wenn man vor dem Ableiten die Hilfsgrößen durch die ersetzt oder aber die Ableitung nach den über die mittels der Kettenregel bildet.

Mit etwas gesundem Menschenverstand sollte man keine Probleme haben, die partielle Ableitung immer so zu bilden, wie sie gerade gemeint ist.
Ratloser No. 1 Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall des Buches steht die Funktion aber doch eben als "nicht explizit von Zi" abhängig, wenn ich mal das "Die Bedeutung der partiellen Ableitung hängt davon ab, wie eine Funktion bezüglich der Variablen hingeschrieben wurde".

Ich verstehe nicht, nach welcher Regel man denn jezt weiß, ob die Art wie sie gerade hingeschrieben worden ist nun mittels Kettenregel abgeleitet werden soll/muss oder eben nicht. Das erscheint mir nach wie vor willkürlich.
Kann doch nicht sein, das manchmal die Kettenregel gilt und manchmal nicht.
Wieso wird denn dann bei ("Physikalischen") Funktionen der Form f(x1(t),x2(t)..,xn(t)) ignoriert, dass die partielle Ableitung der xi(t) nach der Zeit im allgemeinen eben nicht gleich Null ist, wenn man die Kettenregel entsprechend anwendet?!
Ratloser No. 1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat er bestimmt übersehen^^
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ratloser No. 1
In dem Fall des Buches steht die Funktion aber doch eben als "nicht explizit von Zi" abhängig, wenn ich mal das "Die Bedeutung der partiellen Ableitung hängt davon ab, wie eine Funktion bezüglich der Variablen hingeschrieben wurde".

Welches Buch? Ich verstehe diese ganze Anmerkung nicht.

Zitat:
Ich verstehe nicht, nach welcher Regel man denn jezt weiß, ob die Art wie sie gerade hingeschrieben worden ist nun mittels Kettenregel abgeleitet werden soll/muss oder eben nicht. Das erscheint mir nach wie vor willkürlich.

Bei meinem ersten Beispiel wäre nur der Term nach der Kettenregel abzuleiten. Beim zweiten Beispiel könnte man auch den Sinusterm nach der Kettenregel ableiten, falls das notwendig wäre.

Zitat:
Kann doch nicht sein, das manchmal die Kettenregel gilt und manchmal nicht.
Wieso wird denn dann bei ("Physikalischen") Funktionen der Form f(x1(t),x2(t)..,xn(t)) ignoriert, dass die partielle Ableitung der xi(t) nach der Zeit im allgemeinen eben nicht gleich Null ist, wenn man die Kettenregel entsprechend anwendet?!

Wo wird denn das gemacht? Es wäre nützlich, wenn du mal konkrete Beispiele bringst, wo du nicht verstehst, wie die partielle Ableitung anzuwenden ist. Das allgemeine Blabla bringt nichts. Und benutze möglichst Latex oder den Formeleditor.
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