Verschwinden einer Definitionslücke

18.06.2012, 18:40

epsilon0

Verschwinden einer Definitionslücke

Meine Frage:
Hallo Forum,

wir sollen eine Funktion auf Stetigkeit prüfen, kein Problem.
Ich habe mir das dann zur Kontrolle mal in WolframAlpha angeschaut.
Folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-x}{x²-3x+2} \end{eqnarray*}$ wird dabei zu der hier umgeformt: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x-2} \end{eqnarray*}$

Nur verschwindet hier jetzt eine Polstelle?
In der ersten Schreibweise habe ich 2 Definitionslücken, nämlich bei x = 1 und x = 2. Laut WolframAlpha erhält man an der Stelle x=1 den Funktionswert -1, bei mir müsste ich $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ erhalten.
Wie kann das sein? Durch Umformung kann doch nicht einfach eine Polstelle verschwinden?

Meine Ideen:
Eine Erklärung habe ich dazu nicht.

18.06.2012, 18:42

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \text{Definitionslücke} \neq \text{Polstelle} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht dasselbe.

18.06.2012, 18:45

epsilon0

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Dann habe ich da die Begriffe durcheinander geworfen. Aber meine Frage bleibt diesselbe.
Die erste Schreibform ist für x=1 und x=2 nicht definiert, die "Umformung" ist nur noch für x=2 nicht definiert. Wie soll das möglich sein?

18.06.2012, 18:51

Dopap

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RE: Verschwinden einer Definitionslücke

Zitat:

Original von epsilon0
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-x}{x²-3x+2} \end{eqnarray*}$ wird dabei zu der hier umgeformt: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x-2} \end{eqnarray*}$

die Definitionslücken (2 an der Zahl ), die in natürlicher Weise der erste Term erzwingt, bleiben beim zweiten Term erhalten. Dieser ist als Funktionsterm nur gleich, wenn die Definitionsmenge dieselbe wie beim ersten Funktionsterm ist.

Demnach sind die natürlichen Definitionslücken eine Obermenge der Polstellen.

so noch etwas verständlicher?

18.06.2012, 19:00

epsilon0

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Hallo,
Danke für die Antwort.
Leider erschließt es sich mir immer nicht ganz.
Wenn ich die Funktion plotte, sehe ich nur eine Definitionslücke. Überhaupt hat x/(x-2) ja nur eine Definitionslücke. Für x = 1 ist sie ja definiert, im Gegensatz zur ersten Variante. Deshalb sehe ich hier dier Erhaltung nicht.
Die Definitionsmenge ändert sich bei einer Umformung ja auch nicht.

18.06.2012, 19:13

Dopap

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Zitat:

Original von epsilon0
Wenn ich die Funktion plotte, sehe ich nur eine Definitionslücke. Überhaupt hat x/(x-2) ja nur eine Definitionslücke.

falsch , es bleibt bei 2 Lücken.

Zitat:

Für x = 1 ist sie ja definiert,

im Gegensatz zur ersten Variante.

falsch , es bleibt bei 2 Lücken.

18.06.2012, 19:26

epsilon0

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Wo ist denn die zweite Definitionslücke bei $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x-2} \end{eqnarray*}$ ?

18.06.2012, 19:36

original

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Zitat:

Original von epsilon0
Wenn ich die Funktion plotte, sehe ich nur eine Definitionslücke. Überhaupt hat x/(x-2) ja nur eine Definitionslücke.

ja.

g(x) = x/(x-2) hat nur eine Def-Lücke (Pol bei x=2)

aber:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{x^2-x}{x²-3x+2} \end{eqnarray*}$ und g(x) stimmen NICHT überall überein:

es ist f(x)= g(x) NUR für alle x ungleich 1

das "Loch", das f(x) an der Stelle x=1 hat, siehst du zwar nicht im Plotter,
denn f hat an der Stelle x=1 einen endlichen Grenzwert (nämlich g((1))
aber f ist halt nicht definiert bei x=1 (weil dort der Nenner 0 wird)

-> f hat eine hebbare Unstetigkeit (Lücke) bei x=1 und ein Pol bei x=2
...macht 2 Unstetigkeitsstellen Wink

18.06.2012, 19:43

epsilon0

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Also ich fasse nochmal für mich zusammen:

Das f(x) != g(x) bei x = 1 ist, ist für mich klar, das verursacht ja auch die Verwirrung bei mir.
Im Plot sehe an Stelle eines "Lochs" stattdessen den Grenzwert der Funktion an der Stelle x=1, also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$

Da ich hier nur einen Teil der Aufgabe gepostet habe, ist die Unstetigkeit an der Stelle 1 letztendlich nicht wichtig. Mir ging es eigentlich nur um die Verwirrung der Umformung.

18.06.2012, 19:44

Leopold

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Zitat:

Original von original
-> f hat eine hebbare Unstetigkeit (Lücke) bei x=1 und ein Pol bei x=2
...macht 2 Unstetigkeitsstellen Wink

Definitionslücken sind niemals Unstetigkeitsstellen. Den Begriff der Stetigkeit/Unstetigkeit gibt es nur für Definitionsstellen.

18.06.2012, 20:00

original

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Zitat:

Original von Leopold

Definitionslücken sind niemals Unstetigkeitsstellen.

na ja - magst ja Recht haben ..
aber bei Definitionslücken ist halt das Ding grundsätzlich schonmal nicht stetig, da die Bedingung, dass
bei Stetigkeit (an einer Stelle) ein Funktionswert existieren muss, halt nicht erfüllt ist ...

@ epsilon0 :

" .. an der Stelle x=1, also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ unglücklich

... nicht für x->oo smile

18.06.2012, 20:10

Dopap

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Funktionen haben keine Definitionslücken.

Bei einem Funktionsterm auf einer Grundmenge könnte man fragen, was die maximale Definitionsmenge sein könnte, ohne einzelne Stellen per Hand zu definieren.

Das ist die Ausgangslage. Diese Funktion hat also eine Polstelle und eine Stelle mit einem "Loch" im Graphen.

mehr fällt mir nicht dazu ein.

18.06.2012, 20:27

Leopold

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Zitat:

Original von original
aber bei Definitionslücken ist halt das Ding grundsätzlich schonmal nicht stetig, da die Bedingung, dass
bei Stetigkeit (an einer Stelle) ein Funktionswert existieren muss, halt nicht erfüllt ist ...

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unstetig bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn

$\begin{eqnarray*} \exists \, \varepsilon>0 \ \left( \ \forall \, \delta>0 \ \left( \exists \, x \ \left( \left( \left| x - x_0 \right| < \delta \right) \ \wedge \ \left( \left| f(x) - f(x_0) \right| \geq \varepsilon \right) \right) \right) \right) \end{eqnarray*}$

Nach deiner Logik wäre also die Funktion an ihrer Definitionslücke nicht unstetig, denn in der Definition der Unstetigkeit kommt ja $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ vor, was ja gar nicht existiert ...

Nein, so geht das nicht.

19.06.2012, 00:14

original

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Zitat:

Original von Leopold

Nach deiner Logik wäre also die Funktion an ihrer Definitionslücke nicht unstetig, denn in der
Definition der Unstetigkeit kommt ja $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ vor, was ja gar nicht existiert ...

-> üblich scheint mir, dass die Definition der Stetigkeit an einer Stelle (nicht die der Unstetigkeit) festgelegt wird.

-> und da dazu erstmal die Existenz eines Funktionswertes an der betrachteten Stelle notwendig ist,
war meine Aussage doch wohl hinreichend deutlich:

-> da bei einer Definitionslücke schon mal kein Funktionswert existiert, ist die Funktion an der
besagten Stelle sicher nicht stetig . Punkt.

Nichts anderes habe ich doch oben geschrieben - oder?

19.06.2012, 06:37

Leopold

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Zitat:

Original von original
-> da bei einer Definitionslücke schon mal kein Funktionswert existiert, ist die Funktion an der
besagten Stelle sicher nicht stetig . Punkt.

Nichts anderes habe ich doch oben geschrieben - oder?

Das hast du geschrieben. Nur ist es halt falsch.

Wenn ein in einer Definition vorkommendes Objekt nicht existiert, ist die Definition nicht anwendbar. Man darf jedoch nicht den Schluß ziehen, die in der Definition festgelegte Eigenschaft sei nicht erfüllt.
Dazu habe ich auch das Beispiel mit der Unstetigkeit gemacht (das ist übrigens keine neue Definition, sondern die formallogische Negation der Stetigkeitsdefinition). Mit demselben Recht, mit dem du behauptest, an einer Definitionslücke sei eine Funktion nicht stetig, kann ich jetzt behaupten, sie sie dort nicht unstetig.
Aber ich will das ja gar nicht behaupten. Diese Form der Logik ist widersinnig. Das sollte ja gerade diese fehlerhafte Anwendung der Unstetigkeitsdefinition demonstrieren. Sie ist genau so fehlerhaft wie deine Anwendung der Stetigkeitsdefinition.

Übrigens die Wurzelfunktion ... ist die bei allen negativen Zahlen nicht stetig?Oder die Halbkreisfunktion ... ist die an allen Abszissen außerhalb des Halbkreises nicht stetig?

19.06.2012, 09:30

Mystic

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Ich denke auch, dass es in der Mathematik nicht ausreicht, die "Alltagslogik" einzusetzen und zu sagen, dass eine Funktion die in einem Punkt nicht stetig ist (z.B. weil sie dort gar nicht definiert ist), dann dort auch automatisch unstetig ist... Beide Begriffe, sowohl stetig als auch unstetig, werden in der Mathematik üblicherweise so verstanden, dass sie von vorneherein nur im Definitionsbereich der Funktion Sinn machen...

Was die Ausgangsfrage betrifft, wurde hier ja schon alles gesagt, insbesondere dass f und g als Funktionen nicht übereinstimmen, da sie verschiedene Definitionsbereiche haben... Als Ausdrücke im Ring der formalen Potenzreihen über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stimmen sie aber überein, insofern hat Wolfram (und wohl auch jedes andere CAS) recht...

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