Stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen

18.06.2012, 18:55

tobedamobe

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Stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen

Gegeben sei der W-Raum
$\begin{eqnarray*} (\Omega,A,P) = ({1,2,3},\mathcal{P}({1,2,3}),P) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} P({j})=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \in {1,2,3} \end{eqnarray*}$

Es liegt also die diskrete Gleichverteilung vor.

DieZVen $\begin{eqnarray*} X :\Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y :\Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ seien definiert durch

$\begin{eqnarray*} X(1)=-1<br /> X(2)=0<br /> X(3)=1 <br /> \end{eqnarray*}$
sowie

$\begin{eqnarray*} Y(1)=0<br /> Y(2)=1<br /> und<br /> Y(3)=0. <br /> \end{eqnarray*}$

Überprüfen Sie, ob X und Y stochastisch unabhängig sind.

-----------------------
Meine Idee:

Die ZVen sind gleich verteilt also muss ich mir da schonml keine großen Gedanken machen oder?
Also haben alle einzelnen Xe oder Ye die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ korrekt?

Also nun zum eigentlichen:

Stochstische Unabhängigkeit wird gezeigt indem man schaut ob folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X,Y) = P(X)*P(Y) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun aber, dass ich es so verstehe, dass ich dann zum Beispiel sowas hier rechnen muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{1}{3} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Hier gilt die Regel also, aber ich denke ich habe da was falsch gemacht weil so ja immer $\begin{eqnarray*} P(X,Y) = P(X)*P(Y) \end{eqnarray*}$ rauskommen würde. Egal bei was für einer Aufgabe.

Mein Problem ist also:
Wie muss ich in $\begin{eqnarray*} P(X,Y) = P(X)*P(Y) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} P(X,Y) \end{eqnarray*}$ interpretieren?
Ich weiss das ich es auch als $\begin{eqnarray*} P(X \cap Y) \end{eqnarray*}$ betrachten kann, aber hier die gleiche Frage, wie gehe ich nun mit den expliziten W-Maßen um?

Ich habe bisher nur mit $\begin{eqnarray*} P(X \cap Y) \end{eqnarray*}$ zu tun gehabt mit 4-Felder Tafeln. Aber die kann ich hier nicht anwenden oder?

Danke im Voraus!

18.06.2012, 19:27

tobedamobe

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Sorry für den doppelpost aber ich habe noch eine Idee: Es gilt ja auch:

$\begin{eqnarray*} E(X*Y) = E(X) * E(Y) \end{eqnarray*}$

ist ein Indiz für stochastische Unabhängigkeit.

In meine Falle also:

$\begin{eqnarray*} E(X*Y) = (-1*0*\frac{1}{3} + 0*1*\frac{1}{3} + 1*0*\frac{1}{3} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X) * E(Y) = (-\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{3}) * (0 + \frac{1}{3} + 0) = 0 * \frac{1}{3} = 0 \end{eqnarray*}$

also ist gezeigt:

$\begin{eqnarray*} E(X*Y) = E(X) * E(Y) \end{eqnarray*}$ denn
$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?

18.06.2012, 19:32

Math1986

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Zitat:

Original von tobedamobe
Sorry für den doppelpost aber ich habe noch eine Idee: Es gilt ja auch:

$\begin{eqnarray*} E(X*Y) = E(X) * E(Y) \end{eqnarray*}$

ist ein Indiz für stochastische Unabhängigkeit.

Das ist notwendig, aber nicht hinreichend für stochastische Unabhängigkeit.

18.06.2012, 19:35

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen

Zitat:

Original von tobedamobe
Stochstische Unabhängigkeit wird gezeigt indem man schaut ob folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X,Y) = P(X)*P(Y) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun aber, dass ich es so verstehe, dass ich dann zum Beispiel sowas hier rechnen muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{1}{3} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Hier gilt die Regel also, aber ich denke ich habe da was falsch gemacht weil so ja immer $\begin{eqnarray*} P(X,Y) = P(X)*P(Y) \end{eqnarray*}$ rauskommen würde. Egal bei was für einer Aufgabe.

Wie interpretierst du $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} P(X,Y) \end{eqnarray*}$ ?

18.06.2012, 19:35

tobedamobe

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von tobedamobe
Sorry für den doppelpost aber ich habe noch eine Idee: Es gilt ja auch:

$\begin{eqnarray*} E(X*Y) = E(X) * E(Y) \end{eqnarray*}$

ist ein Indiz für stochastische Unabhängigkeit.

Das ist notwendig, aber nicht hinreichend für stochastische Unabhängigkeit.

Okay also heisst das sowas wie die Tatsache dass ich aus $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y) = 0 \end{eqnarray*}$ zwar ablesen kann dass sie stochastisch abhängig sind, aber $\begin{eqnarray*} Cov(X,Y) != 0 \end{eqnarray*}$ noch lange nicht heisst das sie unabhängig sind, richtig?

Nein, dann muss ich leider gestehen, dass ich Hilfe brauche. Oft hilft es ja die Aufgabe ordentlich vor sich zu sehen wie eben hier aber hier...nee! :/

Danke

18.06.2012, 19:37

tobedamobe

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RE: Stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von tobedamobe
Stochstische Unabhängigkeit wird gezeigt indem man schaut ob folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X,Y) = P(X)*P(Y) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun aber, dass ich es so verstehe, dass ich dann zum Beispiel sowas hier rechnen muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{1}{3} * \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Hier gilt die Regel also, aber ich denke ich habe da was falsch gemacht weil so ja immer $\begin{eqnarray*} P(X,Y) = P(X)*P(Y) \end{eqnarray*}$ rauskommen würde. Egal bei was für einer Aufgabe.

Wie interpretierst du $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} P(X,Y) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit das X einen gewissen Wert annimmt, $\begin{eqnarray*} P(X,Y) \end{eqnarray*}$ dass X und Y einen gewissen Wert annehmen.

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18.06.2012, 19:42

Math1986

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RE: Stochastische Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen

Zitat:

Original von tobedamobe
$\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit das X einen gewissen Wert annimmt, $\begin{eqnarray*} P(X,Y) \end{eqnarray*}$ dass X und Y einen gewissen Wert annehmen.

Was du meinst ist wohl $\begin{eqnarray*} P(X = k) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l) \end{eqnarray*}$ - die Schreibweise $\begin{eqnarray*} P(X)=\frac 13 \end{eqnarray*}$ - wie du sie verwendest hat - ist hier schlicht Unsinn unglücklich

unglücklich

18.06.2012, 19:45

tobedamobe

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Hmm....ich habe diese Information aus dem Text der Aufgabe gezogen, der ja sagt, dass jeder Wert den X oder Y annehmen können, gleich verteilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist. Oder sehe ich das falsch?

18.06.2012, 20:18

tobedamobe

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Hat niemand mehr einen Hinweis oder einen Ansatz der mir helfen könnte? Oder sind alle vor dem Fernseher? Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.06.2012, 20:18

Math1986

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Zitat:

Original von tobedamobe
Hmm....ich habe diese Information aus dem Text der Aufgabe gezogen, der ja sagt, dass jeder Wert den X oder Y annehmen können, gleich verteilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist. Oder sehe ich das falsch?

Ja, es geht aber um die Art, es zu notieren.

Betrachten wir mal $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ - welchen Wert nimmt X hier an?

18.06.2012, 20:19

Math1986

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Zitat:

Original von tobedamobe
Hat niemand mehr einen Hinweis oder einen Ansatz der mir helfen könnte? Oder sind alle vor dem Fernseher? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fernseher stimmt. Deinen Beitrag deute ich so, dass die eine halbe Stunde Wartezeit zu lange ist?

18.06.2012, 20:20

tobedamobe

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$\begin{eqnarray*} P(X) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ weil die Wahrscheinlichkeiten doch alle $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ sind. Ich galueb ich versteh die Frage nicht! Big Laugh

Big Laugh

18.06.2012, 20:22

tobedamobe

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von tobedamobe
Hat niemand mehr einen Hinweis oder einen Ansatz der mir helfen könnte? Oder sind alle vor dem Fernseher? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fernseher stimmt. Deinen Beitrag deute ich so, dass die eine halbe Stunde Wartezeit zu lange ist?

Wenn das für dich bedeutet den Fernseher auszumachen und mir zu helfen natürlich! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein Quatsch! Ich bin froh für jede Hilfe und werde da keinerlei Egoschiene fahren! Lerne nur halt gerade und habe die Blätter vor mir liegen und der Mülleimer wird immer voller Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.06.2012, 20:25

Math1986

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Zitat:

Original von tobedamobe
$\begin{eqnarray*} P(X) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ weil die Wahrscheinlichkeiten doch alle $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ sind. Ich galueb ich versteh die Frage nicht! Big Laugh

Big Laugh

Es geht hier nur darum, dass diese Notation hier falsch ist, bzw deine Interpretation dieser Notation und der Formel.

Was machst du, wenn X anders verteilt wäre? Also $\begin{eqnarray*} P(X=1)=0,8 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X=2)=0,2 \end{eqnarray*}$ ? (die Zahlen habe ich mir ausgedacht, die haben nichts mit der Aufgabe zu tun.

Was wäre, in diesem Falle, für dich P(X) ? verwirrt

verwirrt

18.06.2012, 20:32

tobedamobe

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Ja in diesem Falle würde ich sagen $\begin{eqnarray*} P(X) = 0.8 \end{eqnarray*}$ . Ok ich weiss worauf du hinaus willst. Wäre es dann so richtig?

$\begin{eqnarray*} <br /> P(X^{-1}=-1) = P(1) = \frac{1}{3}<br /> P(X^{-1}=0) = P(2) = \frac{1}{3}<br /> P(X^{-1}=1) = P(3) = \frac{1}{3}<br /> P(Y^{-1}=0) = P(1,3) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}<br /> P(Y^{-1}=1) = P(2) = \frac{1}{3}<br /> P(Y^{-1}=3) = P(1,3) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}<br /> \end{eqnarray*}$

?

Oh Gott ich hab den Verdacht ich liege sooo daneben!!

18.06.2012, 20:42

Math1986

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Zitat:

Original von tobedamobe
Ja in diesem Falle würde ich sagen $\begin{eqnarray*} P(X) = 0.8 \end{eqnarray*}$ .

Diese Notation gibt es nicht.

Zitat:

Original von tobedamobe
Ok ich weiss worauf du hinaus willst. Wäre es dann so richtig?

$\begin{eqnarray*} <br /> P(X=-1) = P(\{1\}) = \frac{1}{3}<br /> P(X=0) = P(\{2\}) = \frac{1}{3}<br /> P(X=1) = P(\{3\}) = \frac{1}{3}<br /> P(Y=0) = P(\{1,3\}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}<br /> P(Y=1) = P(\{2\}) = \frac{1}{3}<br /> \end{eqnarray*}$

?

Oh Gott ich hab den Verdacht ich liege sooo daneben!!

So daneben ist das nicht smile

smile

Ich hab ein paar Sachen korrigiert (Den Term $\begin{eqnarray*} P(Y=3) = P(\{1,3\}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ gibt es nicht, Y nimmt nur die Werte 0 oder 1 an), aber darauf wollte ich hinaus. Es macht einfach keinen Sinn, einer Zufallsvariablen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen zu wollen.

Analog für $\begin{eqnarray*} \color{red}P(X,Y) \end{eqnarray*}$

Für die stockastische Unabhängigkeit ist also zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l)=P(X=k)*P(Y=l) \end{eqnarray*}$
und zwar jeweils für alle $\begin{eqnarray*} k=-1,0,1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l = 0,1 \end{eqnarray*}$

Noch mal zusammenfassend:
$\begin{eqnarray*} X(1)=-1, X(2)=0, X(3)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y(1)=0, Y(2)=1, Y(3)=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe hier die Definition der stochastischen Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen aus Wikipedia:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} X\colon (\Omega, \mathcal A,P) \rightarrow (\Sigma, \mathcal B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\colon (\Omega,\mathcal A,P) \rightarrow (\Sigma', \mathcal B') \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen. Dann heißen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig, falls

$\begin{eqnarray*} P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal B \end{eqnarray*}$ und alle [latex]B \in \mathcal B'[/latex.

18.06.2012, 20:51

tobedamobe

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Ahhh okay super danke!! Aber leider leider leider geht es ja genau um diese kleinen Teil!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l)=P(X=k)*P(Y=l) \end{eqnarray*}$

Was mache ich mit diesem $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l) \end{eqnarray*}$

Ich meine wie berechne ich nun ob die beiden Seiten gleich sind.

Wie ich $\begin{eqnarray*} P(X=k)*P(Y=l) \end{eqnarray*}$ berechne ist klar. Aber als welche Rechenart kann ich alles links vom Gleichheitszeichen verstehen? Also wie errechne ich nun die Werte? Kannst du mir evtl. ein Beispiel geben? Ich weiss das ist in den meisten Fällen eher kontraproduktiv aber ich kann es so besser nachvollziehen!

Trotzdem schonmal 1000 Dank!

18.06.2012, 20:53

Math1986

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Zitat:

Original von tobedamobe
Ahhh okay super danke!! Aber leider leider leider geht es ja genau um diese kleinen Teil!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l)=P(X=k)*P(Y=l) \end{eqnarray*}$

Was mache ich mit diesem $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l) \end{eqnarray*}$

Ich meine wie berechne ich nun ob die beiden Seiten gleich sind.

Naja, $\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l) \end{eqnarray*}$ ist Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} P(\{X=k\}\cap\{Y=l\}) \end{eqnarray*}$ .
Die Menge auf der rechten Seite musst du dir nun ausrechnen und dann deren Wahrscheinlichkeit bestimmen.

18.06.2012, 20:56

tobedamobe

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Okay .... ich muss mal eben schnell was essen und dann werd ich es mal probieren! Werde mich evtl noch mal melden. Erwarte aber heute keine Antwort mehr. Wenn du morgen aber noch mal vorbei schauen könntest wäre das super! Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.06.2012, 11:16

tobedamobe

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Also ich habe alles in Ruhe noch mal aufgeschrieben und hier ist mein Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{tabular}{l|lll}<br /> i & 1 & 2 & 3 \\<br /> \hline<br /> Xi & -1 & 0 & 1 \\<br /> \hline<br /> Yi & 0 & 1 & 0 \\<br /> \end{tabular}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Die stochastische Unabhängigkeit zeigen wir über:

$\begin{eqnarray*} P(X=k,Y=l) = P(X=k) * P(Y=l) \end{eqnarray*}$

Unsere Werte:

$\begin{eqnarray*} <br /> P(X=-1) = P(\{1\}) =\frac{1}{3}<br /> P(X=0) = P(\{2\}) =\frac{1}{3}<br /> P(X=1) = P(\{3\}) =\frac{1}{3}<br /> P(Y=0) = P(\{1\}) + P(\{3\}) =\frac{2}{3}<br /> P(Y=1) = P(\{2\}) =\frac{1}{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Nun ist die hinreichende Bedingung für alle $\begin{eqnarray*} X=k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=l \end{eqnarray*}$ zu prüfen.

$\begin{eqnarray*} P(X=-1,Y=0) = P(X=-1) * P(Y=0)<br /> P(\{1\}\cap\{1,3\}) = P(\{1\}) * P(\{1,3\})<br /> P(\{1\}) = P(\{1\}) * P(\{1,3\})<br /> \frac{1}{3}=\frac{1}{3}*\frac{2}{3}<br /> <br /> \frac{1}{3} \neq \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Somit ist hier bereits die stochastische Unabhängigkeit widerlegt und es gilt:

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sind stochastisch abhängig.

Was haltet Ihr davon?

19.06.2012, 11:32

Math1986

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Richtig

19.06.2012, 11:38

tobedamobe

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Yeah!

Big Laugh

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