Parameterintegrale

18.06.2012, 20:13	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterintegrale Es seien $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x,y):= e^xy^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(y,\alpha, \beta):= \int_\alpha^\beta f(x,y) dx \end{eqnarray}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray} \alpha(y)=ln(y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta(y) = 2ln(y) \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie: $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial y}(y,\alpha(y),\beta(y)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{dF}{dy}(y,\alpha(y),\beta(y)) \end{eqnarray}$ Leider verstehe ich bei dieser Aufgabe noch nicht, was man von mir will. Ich soll zunächst die Partielle Ableitung von F nach y bilden. Was ist dabei mit der Zeile $\begin{eqnarray} \alpha(y)=ln(y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta(y) = 2ln(y) \end{eqnarray}$ gemeint?
18.06.2012, 20:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch ein bestimmtes Integral, das von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ geht.
18.06.2012, 20:29	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja schon. Ich stehe wohl grad auf dem Schlauch. $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ sind Element von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Was also soll $\begin{eqnarray} \alpha(y) \end{eqnarray}$ sein? Das wäre ja soetwas wie $\begin{eqnarray} 5(y) \end{eqnarray}$
18.06.2012, 23:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ hängt doch von y ab, da $\begin{eqnarray} \alpha=ln(y) \end{eqnarray}$ . Ebenso $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ Für y=2 ist beispielsweise $\begin{eqnarray} \alpha=ln(2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta=2ln(2) \end{eqnarray}$ .
19.06.2012, 21:52	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich muss nochmal stören. Ich habe mir die Aufgabe gerade nochmal angesehen, verstehe aber immer noch nicht, wo ich was integrieren und ableiten soll. Im Skript haben wir ein kleines Beispiel dazu, an welchem ich mich gerade etwas orientiert habe. Ich poste mal meine Überlegungen und würde mich freuen, wenn daraus etwas Verwertbares rausspringt. Sei: $\begin{eqnarray} g(y):= \int_{ln(y)}^{2ln(y)} e^xy^2 dx, y\in (0,\infty) \end{eqnarray}$ Wir definieren $\begin{eqnarray} G: (0,\infty)^3 \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G(y,\alpha, \beta) := \int_\alpha^\beta e^xy^2 dx \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} g(y) = G(y,ln(y), 2ln(y)) \end{eqnarray}$ und wir bekommen mit der mehrdimensionalen Kettenregel: $\begin{eqnarray} g'(y) = \frac{dg}{dy}(y) = \end{eqnarray}$ (Pyramide) $\begin{eqnarray} G(y,ln(y), 2ln(y)) Dh(y) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} h: (0,\infty)\to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} h(y) := (y,ln(y), 2ln(y))^T \end{eqnarray}$ gegeben ist. Wir erhalten: (Pyramide) $\begin{eqnarray} G (y, \alpha , \beta) = ([e^x]_{y=\alpha }^{y=\beta}, -e^{\alpha}y^2, e^{beta}y^2) \end{eqnarray}$ und wir haben $\begin{eqnarray} Dh(y) = (1,\frac{1}{y}, \frac{2}{y}) \end{eqnarray*}$ Ich habe nun mal das Beispiel als Bild angehängt. Darunter folgt gleich die zuvor gefragte Übungsaufgabe. Inwiefern spielt die Übungsaufgabe auf das Beispielt zurück? http://www.abload.de/img/bsptpys8.png Wie mache ich diese "Auf dem Kopf-Stehende Pyramide für den Gradienten in Latex?
19.06.2012, 23:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterintegrale Vielleicht wird Dir so klarer, worauf ich oben hinaus wollte: $\begin{eqnarray} F(y,\alpha, \beta):= \int_\alpha^\beta f(x,y) dx = \int_\alpha^\beta e^xy^2~dx = y^2\int_\alpha^\beta e^x~dx \end{eqnarray}$ . Das letzte Integral sollte kein Problem darstellen, anschließend berücksichtigst Du, was $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und was $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist.
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