Volumen Paraboloid

18.06.2012, 21:22

Nighel123

Volumen Paraboloid

Moin,

ich soll die Volumenformel für einen Paraboloiden herleiten.

Im Internet habe ich folgende Lösung dafür gefunden:

(siehe Anhang)

ich bin mir jetzt aber nicht ganz im Klaren wie man auf die Formel:

$\begin{eqnarray*} y^2=2px \end{eqnarray*}$ kommt. Das ist doch eine lineare Funktion mit einer exponentiellen gleichgesetzt. Wie kann sowas von satten gehen?

Gruß Nickel

18.06.2012, 21:39

Cheftheoretiker

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RE: Volumen Paraboloid
Hi,

ich kenne die Herleitung nur über den Flächeninhalt eines Kreises. Es gilt,

$\begin{eqnarray*} A=\pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

Wir wissen das der Radius den Abstand zu der Funktion angibt. D.h. der Radius ist damit die Funktion selbst.

$\begin{eqnarray*} \int \pi\cdot[f(x)]^2dx \end{eqnarray*}$

18.06.2012, 21:42

Zizou66

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Zitat:

Das ist doch eine lineare Funktion mit einer exponentiellen gleichgesetzt

Nein, hierbei handelt es sich um eine Funktionsvorschrift für eine Parabel. Drehe das Koordinatensystem um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn, dann siehst du sie. Jetzt kannst du auch so umformen, dass man die Parabel in der Funktionsvorschrift wieder sieht...

18.06.2012, 22:07

Dopap

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o.k.

$\begin{eqnarray*} V=\pi p x^2 \end{eqnarray*}$

wenn die Integration von Null bis x läuft.

Welchen Sinn hat nun aber die abhängige Variable y in dem Volumen verwirrt

Zur gespiegelten Funktion:

Wenn y=ax^2 gilt, dann steht es mir frei die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} y=\sqrt {2px} \end{eqnarray*}$

zu benennen.

Nur ist das keine Wiilkür, sondern p=Brennpunkt= Radius des Schmiegekreises in (0,0)

Der Brennpunkt ist F(0,p), die Leitgerade ist x=-p

Die Parabel ist somit der geometrische Ort aller Punkte, die von der Leitgeraden und dem Brennpunkt f denselben Abstand haben. Also ein Kegelschnitt.

Ein Aspekt, der bei y=ax^2 nie erwähnt wird.

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