natürliche Zahl als Summe zweier Quadrate

18.06.2012, 22:47

lilithilli1210

natürliche Zahl als Summe zweier Quadrate

Hi,

man kann viele natürliche Zahlen ja als Summe zweier Quadrate von natürlich Zahlen schreiben.
Also zum Beispiel als kleinste Zahl:
$\begin{eqnarray*} 2= 1^2 + 1^2 \end{eqnarray*}$

Wir sollten nun die kleinste natürlich Zahl finden, die sich auf zwei wesentlich verschiedene Weisen als Summe von zwei Quadraten aus N schreiben lässt.
Also:
$\begin{eqnarray*} n= a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \{a, b\} \neq \{c, d\} \end{eqnarray*}$

ich habe ein bisschen rumprobiert und so eine Zahl gefunden:
$\begin{eqnarray*} 65= 4^2 + 7^2 = 1^2 + 8^2 \end{eqnarray*}$

ist das jetzt schon die kleinste natürlich Zahl für die das gilt, oder gibt es noch eine kleinere? Bzw. wie kann ich rausfinden, ob es die kleinste ist?

LG lilithilli smile

19.06.2012, 10:12

Furunkel

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65 ist die kleinste solche Zahl wie man z.B. durch Betrachtung aller potentiellen Paare sehen kann.

19.06.2012, 16:50

Mystic

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Zitat:

Original von Furunkel
65 ist die kleinste solche Zahl wie man z.B. durch Betrachtung aller potentiellen Paare sehen kann.

Wäre interessant zu wissen, was genau du mit "potenziellen Paaren" meinst...Man brauchst jedenfalls 2 möglichst kleine Primzahlen von der Fromr 4k+1, wobei die kleinsten 5 und 13 sind, bildet mit ihnen die komplexen Zahl

$\begin{eqnarray*} u:=1+2i, \quad v:=2+3i \end{eqnarray*}$

mit den Betragsquadraten 5 bzw. 13 und hat dann jedenfalls zwei wesentlich verschiedene Darstellungen von 65 als Summe von 2 Quadraten korrespondierend mit

$\begin{eqnarray*} |uv|^2 \text{ bzw. } |u\bar{v}|^2 \end{eqnarray*}$

War das gemeint?

19.06.2012, 20:56

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Furunkel
65 ist die kleinste solche Zahl wie man z.B. durch Betrachtung aller potentiellen Paare sehen kann.

Hmh,

$\begin{eqnarray*} 5^2+5^2=7^2+1^2=50 \end{eqnarray*}$

verwirrt

19.06.2012, 21:12

Mystic

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Ja, da stellt sich die Frage, ob gleiche Quadrate zugelassen sind... Falls auch 0 zugelassen ist (warum eigentlich nicht?), dann wäre

$\begin{eqnarray*} 25=3^2+4^2=0^2+5^2 \end{eqnarray*}$

ein noch kleineres Beispiel... Augenzwinkern

19.06.2012, 23:17

lilithilli1210

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Hi

also die Null ist defintiv nicht zugelassen, da wir nur Zahlen aus N nehmen sollen und bei uns die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt.
Ob man nun zweimal die selbe Zahl nehmen darf, weiß ich ehrlich gesagt gar nicht...

Da aber die Menge {a,b} erwähnt wird, gehe ich davon aus, dass die Quadrate in den Summen verschieden sein sollen.

D.h. also 65 ist wirklich die kleinste...

Zitat:

Original von Furunkel
Man brauchst jedenfalls 2 möglichst kleine Primzahlen von der Fromr 4k+1, wobei die kleinsten 5 und 13 sind, bildet mit ihnen die komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} u:=1+2i, \quad v:=2+3i \end{eqnarray*}$ mit den Betragsquadraten 5 bzw. 13 und hat dann jedenfalls zwei wesentlich verschiedene Darstellungen von 65 als Summe von 2 Quadraten korrespondierend mit $\begin{eqnarray*} |uv|^2 \text{ bzw. } |u\bar{v}|^2 \end{eqnarray*}$ War das gemeint?

könntest du mir das nochmal genauer erklären?
kann ich damit zeigen, dass 65 die kleinste zahl dieser art ist?

LG lilithilli smile

19.06.2012, 23:30

Mystic

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Zitat:

Original von lilithilli1210
also die Null ist defintiv nicht zugelassen, da wir nur Zahlen aus N nehmen sollen und bei uns die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt.

Arg, solche Professoren gibt es immer noch? In welchem Jahrhundert leben wir denn?... geschockt

Zitat:

Original von lilithilli1210
könntest du mir das nochmal genauer erklären?
kann ich damit zeigen, dass 65 die kleinste zahl dieser art ist?

Ja, auf diese Erklärung von Furunkel wäre ich auch sehr gespannt... Big Laugh

19.06.2012, 23:34

lilithilli1210

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Zitat:

Original von Mystic

Arg, solche Professoren gibt es immer noch? In welchem Jahrhundert leben wir denn?... geschockt

Durchaus

, wobei ich zugegeben muss, dass das eigentlich in allen Veranstaltungen so war, die ich bis jetzt hatte.

20.06.2012, 08:22

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von lilithilli1210
Da aber die Menge {a,b} erwähnt wird, gehe ich davon aus, dass die Quadrate in den Summen verschieden sein sollen.

D.h. also 65 ist wirklich die kleinste...

Nun, dann kommen doch nur ziemlich überschaubar viele Zahlenpaare in die engere Wahl.
Statt Dir da lange den Kopf zu zerbrechen könntest Du doch ganz stumpf 'brute-force-mäßig' die etwa 20 theoretisch überhaupt in Frage kommenden Zahlenpaare hinschreiben...

20.06.2012, 08:36

Mystic

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Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
Nun, dann kommen doch nur ziemlich überschaubar viele Zahlenpaare in die engere Wahl.
Statt Dir da lange den Kopf zu zerbrechen könntest Du doch ganz stumpf 'brute-force-mäßig' die etwa 20 theoretisch überhaupt in Frage kommenden Zahlenpaare hinschreiben...

Ja, wobei diese Aufgabe noch dadurch erleichtert wird, dass

1. nur positive ganze Zahlen in Frage kommen, deren Primfaktoren von der Form 4k+3 eine gerade Vielfachheit haben
2. Primzahlen von vornherein aussscheiden, da diese (bis auf die Reihenfolge) höchstens eine Darstellung als Summe von 2 Quadraten haben

20.06.2012, 09:04

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
... die etwa 20 theoretisch überhaupt in Frage kommenden Zahlenpaare ...

Verstehe ich etwas nicht? Sind es nicht mehr, wie in OEIS beschrieben?

EDIT3: Oder meinst Du nur die Zahlenpaare, deren Quadratsumme kleiner als 65 ist? Dann paßt's natürlich.

Viele Grüße
Steffen

EDIT: unendlich viele sind's wohl nicht...
EDIT2: oder doch? Mein Brute-Force-Programm zeigt z.B.
$\begin{eqnarray*} 98^2 + 71^2 = 89^2 + 82^2 = 14645 \end{eqnarray*}$

20.06.2012, 09:30

HAL 9000

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Dazu braucht man kein Bruteforce:

Mit $\begin{eqnarray*} a = t^2+u^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = v^2+w^2 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} ab = (tv+uw)^2 + (tw-uv)^2 = (tv-uw)^2 + (tw+uv)^2 \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

das ist in reeller Form geschrieben, was Mystic oben schon mal komplex ausgedrückt hat.

Valdas Ivanauskas wollte was ganz anderes ausdrücken, nämlich dass es unterhalb der bereits gefundenen 65 nur noch ca. 20 zu untersuchende Kandidaten für einen noch kleineren "Treffer" gibt!

P.S.: $\begin{eqnarray*} 14645 = 5\cdot 29\cdot 101 = (2^2+1^2)\cdot (5^2+2^2)\cdot (10^2+1^2) \end{eqnarray*}$ ergibt nach obiger Konstruktion (*)

$\begin{eqnarray*} 145 = 12^2+1^2 = 9^2+8^2 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} 14645 = 121^2+2^2 = 119^2+22^2 = 98^2+71^2 = 89^2+82^2 \end{eqnarray*}$ ,

also sogar vier Möglichkeiten. Augenzwinkern

20.06.2012, 09:34

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Valdas Ivanauskas wollte was ganz anderes ausdrücken, nämlich dass es unterhalb der bereits gefundenen 65 nur noch ca. 20 zu untersuchende Kandidaten für einen noch kleineren "Treffer" gibt!

Ja, hab ich inzwischen kapiert. Genau sind es 18. Verzeiht meine Selbstgespräche.

Viele Grüße
Steffen

20.06.2012, 10:20

lilithilli1210

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Vielen Dank an Mystic und HAL 9000.
Durch die Erklärung von HAL ist mir die Aussage von Mystic klarer geworden.

LG lilithilli smile

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