Simpson Regel

19.06.2012, 07:38	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Simpson Regel Hi Leute, wie bereits im Threadtitel steht, habe ich eine Frage zur Simpson Approximation. Und zwar gilt die Simpson Regel nur wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade ist? Die Simpson Regel lautet ja, $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b-a}{3n}\left(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_1)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right) \end{eqnarray}$ Wenn ich zum Beispiel die Aufgabe, $\begin{eqnarray} \int_{2}^{4}x^3dx \end{eqnarray}$ habe ist das Integral nach Simpson approximierbar. Wenn ich nun für $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ wähle, ergibt sich folgendes. $\begin{eqnarray} \int_{2}^{4}x^3dx\approx \frac{4-2}{3\cdot 4}\left(2^3+4\cdot 2,5^3+2\cdot 3^3+4\cdot 3,5^3+4^3\right)\approx 60 \end{eqnarray}$ Wenn ich allerdings nun die Anzahl der Streifen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade wähle, kommt nur Murks raus. Klappt die Annäherung nur für gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ?
21.06.2012, 00:15	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson Regel Ich vermute, das Missverständnis liegt darin, dass du meinst, das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in deiner Formel gäbe die Anzahl der Streifen an. Es sind aber $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Stützstellen, an denen die Funktion ausgewertet wird. Z.B. für 1 Streifen hast du 3 Stützstellen ( $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ), bei 2 Streifen sind es 5 Stellen... Salopp gesprochen: Die Koeffizienten vor den f's gehen immer 1-4-2-4-2- ... -2-4-1, der vorletzte Koeffizient (vor $\begin{eqnarray} f(x_{n-1} \end{eqnarray}$ ) ist immer eine 4, nie eine 2. LG cst edit: (Genau genommen sind es nicht $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Stützstellen, sondern $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ , weil die Zählung bei 0 beginnt.)
21.06.2012, 17:07	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson Regel Hi, Schonmal danke für deine Antwort. Wenn es die Stützstellen sind, wieso steht dann im Nenner $\begin{eqnarray} 3n \end{eqnarray}$ und wieso muss $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade sein?
21.06.2012, 20:29	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson Regel Hi hangman, $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ muss gerade sein, weil es nicht die Anzahl der Streifen bezeichnet, sondern die Anzahl Stützstellen minus 1. Nach Theorie teilt man das Intervall in $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Streifen, wobei die Funktion auch in den Streifenmitten auszuwerten ist. Man kriegt dadurch immer eine ungerade Anzahl Stützstellen, nämlich $\begin{eqnarray} N+1 \end{eqnarray}$ "Streifenkanten" plus $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Streifenmitten: $\begin{eqnarray} n+1 = 2N+1. \qquad\qquad(1) \end{eqnarray}$ Es ergibt sich also automatisch immer ein gerades $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , wobei man $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ frei wählen darf. Der Faktor vor der Klammer lautet eigentlich $\begin{eqnarray} \frac{b-a}{6N} \end{eqnarray}$ (vgl. Wikipedia-Artikel), und wenn du mittels (1) $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ substituierst, kommst du genau auf deine Formel. Du kannst dann $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ wählen, darfst aber nur gerade Zahlen nehmen, sonnst kommst du auf ein halbzahliges $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ . Oder anders: Wenn wir beide von Streifen reden, stellst du dir bestimmt doppelt so viele Streifen vor wie ich ( $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Stück), wobei der Integrand nur an den Streifenkanten auszuwerten ist. Ich nehme nur $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Streifen, wobei der Integrand auch in den Streifenmitten auszuwerten ist. Weil du doppelt so viele hast, muss dein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade sein, mein $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ darf auch ungerade sein . cst
21.06.2012, 20:36	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Simpson Regel Vielen Dank für die Erklärung.

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