x lösen

19.06.2012, 10:08

ee-Matze

arctan(x)=pi/2 - 1/x lösen

Hallo zusammen,

ich habe mal wieder ein Problem. Ich möchte folgende Gleichung nach x auflösen:
$\begin{eqnarray*} arctan(x)=\frac{pi}{2}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze:
Ich habe $\begin{eqnarray*} arctan(x)=\frac{cos(x)}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ ersetzt und dann einfach so weit wie möglich aufgelöst. Ist das richtig/hilfreich?

Nun steht bei mir:
$\begin{eqnarray*} sin(x)*(\frac{2x}{tan(x)}+2-pi*x)=1 \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir weiterhelfen? Mit wolframalpha hab ich rausgefunden, dass es eine Lösung gibt aber ich komme von Hand nicht drauf...

19.06.2012, 13:54

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher hast du denn diese Ding?

Algebraisch auflösen lässt sich diese Gleichung nicht, das geht nur mittels eines Näherungsverfahrens oder eines CAS.
Schließlich lautet sie

$\begin{eqnarray*} \tan(\frac{\pi}2- \frac 1 x) = x \end{eqnarray*}$

Wir sehen, dass das Agument x sowohl in einer trigonometrischen Funktion als auch alleine (getrennt) auftaucht. Das ist im Allgemeinen ein Zeichen für die algebraische Unlösbarkeit.

Die Lösung liegt in der Nähe von 639.

Übrigens: Deine Umformung des arctan ist falsch (du verwechselst arctan mit cot) ...

mY+

19.06.2012, 14:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos

Zitat:

Original von mYthos
Die Lösung liegt in der Nähe von 639.

Deine Gleichung und die des Fragestellers sind nicht äquivalent.

@ ee-Matze

Zitat:

Original von ee-Matze
$\begin{eqnarray*} arctan(x)=\frac{cos(x)}{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Da ist leider gar nichts richtig. Schon die Formel mit dem Arcustangens ist falsch. Irgendwie scheinst du den Arcustangens, also die Umkehrfunktion des Tangens, mit dem Cotangens, das ist der Quotient von Cosinus und Sinus, verwechselt zu haben. Wie mYthos schon sagte: Diese Gleichung läßt sich nicht durch reine Algebra auflösen. Du mußt hier Methoden der Analysis anwenden. Man könnte z.B. die Differenzfunktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \arctan x + \frac{1}{x} - \frac{\pi}{2} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$

betrachten und auf Nullstellen untersuchen. Sie ist differenzierbar mit der Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{1}{x^2 \left( x^2 + 1 \right)} \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} f'(x)<0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sowohl im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ als auch im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend. Beachte, daß man nicht über die Definitionslücke "hinwegargumentieren" darf. Ferner gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0+0 \, , \ \ f(x) \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to \infty \end{eqnarray*}$

Im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ kann es daher keine Nullstelle geben. Jetzt überlege dir, wie das für das Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ ist.

19.06.2012, 16:41

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
@ mYthos

Zitat:

Original von mYthos
Die Lösung liegt in der Nähe von 639.

Deine Gleichung und die des Fragestellers sind nicht äquivalent.
...

Weshalb nicht?

mY+

19.06.2012, 17:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Übergang von $\begin{eqnarray*} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \tan\left( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{x} \right)=x \end{eqnarray*}$ ist statthaft, die Umkehrung ist aber nur richtig für diejenigen Argumente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ im Wertebereich $\begin{eqnarray*} \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ der Arkustangensfunktion liegt - offenbar ist dies hier nur für $\begin{eqnarray*} x>\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Damit ist auch gleich klar dass, es für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ keine Lösung geben kann - nach den Ausführungen von Leopold muss man also sagen "ebenfalls keine".

20.06.2012, 00:07

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung x = rd. 639 erfüllt doch die o.g. Forderung für die Argumente der arctan-Funktion:

arctan(639) = 1.569231382 und pi/2 - 1/639 = 1.569231381

mY+

20.06.2012, 06:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier nicht um $\begin{eqnarray*} \arctan(x) \approx \frac{\pi}{2}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , d.h., man sollte sich nicht von numerischen Effekten austricksen lassen. Leopold hat klar und deutlich gezeigt, dass es keine positive Lösung gibt, auch nicht in der Nähe von 639. unglücklich

20.06.2012, 07:53

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch ein etwas anderer Weg, um zu sehen, dass es hier tatsächlich keine Lösung gibt... Dazu benütze ich die Tatsache, dass im Definitionsbereich vom arc tan x der Tangens nur einen Fixpunkt hat, nämlich $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , da für $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ ja bekanntlich $\begin{eqnarray*} |\tan x| >|x| \end{eqnarray*}$ gilt... Wegen

$\begin{eqnarray*} \tan(\frac \pi 2-\frac 1x)=\frac{\cos(1/x)}{\sin(1/x)}=x \Rightarrow \tan(1/x)=1/x \end{eqnarray*}$

ist aber selbst dieser einzige Fixpunkt hier "unerreichbar", da 1/x keine Nullstelle hat... Augenzwinkern

20.06.2012, 10:42

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Nichtäquivalenz (vgl. HAL 9000):

$\begin{eqnarray*} \arctan u = v \ \ \Rightarrow \ \ u = \tan v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = \tan v \ \ \not \Rightarrow \ \ \arctan u = v \end{eqnarray*}$

Für die zweite Aussage wähle man $\begin{eqnarray*} u=0, v=\pi \end{eqnarray*}$ . Es ist halt die fehlende Injektivität des Tangens, die die Probleme verursacht. Man vergleiche das mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{u} = v \ \ \Rightarrow \ \ u = v^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = v^2 \ \ \not \Rightarrow \ \ \sqrt{u} = v \end{eqnarray*}$

Nach der Argumentation in meinem ersten Beitrag ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend mit $\begin{eqnarray*} f(x) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ . Das zeigt ja, daß "im Unendlichen eine Nullstelle liegt". Wenn ich also zwei reelle Zahlen als numerisch gleich betrachte, wenn der Betrag ihrer Differenz kleiner als $\begin{eqnarray*} 10^{-6} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist jede Zahl so etwa ab $\begin{eqnarray*} 69{,}4 \end{eqnarray*}$ Lösung der Ausgangsgleichung. Und so hat mYthos im unendlichen Meer des Continuums $\begin{eqnarray*} 639 \end{eqnarray*}$ ("Ein Haus voll Glorie schauet" im katholischen Gesangbuch - das katholische Kampflied! Ob das ein Zeichen des Himmels ist ...) herausgefischt. Er hätte aber genau so gut $\begin{eqnarray*} 735{,}83 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 4445{,}006 \end{eqnarray*}$ nehmen können. Und das Meer ist immer noch genau so voll wie zuvor.

21.06.2012, 12:26

ee-Matze

Auf diesen Beitrag antworten »

Mist...da hab ich den arctan wohl wirklich mit dem cot verwechselt.

Trotzdem danke für eure Hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

arctan(x)=pi/2 - 1/x lösen

Verwandte Themen