Funktion im Intervall [0,1] monoton steigend

19.06.2012, 11:05

martin05

Funktion im Intervall [0,1] monoton steigend

Liebe Community,

bräuchte bitte einen Denkanstoß bei dieser Aufgabe:

such Werte des Parameters a im Intervall [0,1]
$\begin{eqnarray*} e^(2x)-ax \end{eqnarray*}$

nun hab ich schon enige Szenarien durchprobiert, bin aber immer auf was falsches gekommen.
Meine Idee:

1. bei einer monoton steigenden Funktion muss die Abl. immer >= 0 sein.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2e^(2)-a \end{eqnarray*}$
so müsste a doch >= $\begin{eqnarray*} 2e^(2x) \end{eqnarray*}$ sein oder?

2. aus der Funktion lässt sich aber auch leicht ablesen, dass a >= $\begin{eqnarray*} e^(2x)/x \end{eqnarray*}$
sein muss. bzw. nur größer,da sonst diese 0 ist.

lg

martin

19.06.2012, 11:26

martin05

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Habe die Funktion etwas falsch angeschrieben...

$\begin{eqnarray*} e^{2x} - ax \end{eqnarray*}$

auch die Abl. hat einen Fehler....

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*e^{2x} -a \end{eqnarray*}$

19.06.2012, 11:46

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von martin05
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*e^{2x} -a \end{eqnarray*}$

... soll im Intervall [0;1] mindestens Null sein. Wie groß darf dann a höchstens sein?

Viele Grüße
Steffen

19.06.2012, 11:50

martin05

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$\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \geq a \end{eqnarray*}$

nur das ist mir etwas suspekt.

lg
martin

19.06.2012, 11:54

HAL 9000

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RE: Funktion im Intervall [0,1] monoton steigend

Zitat:

Original von martin05
such Werte des Parameters a im Intervall [0,1]
$\begin{eqnarray*} e^{2x}-ax \end{eqnarray*}$

Muss man sich jetzt irgendwas dazudenken (etwa kombiniert mit der Überschrift), damit dann irgendeine sinnvolle Fragestellung entsteht? verwirrt

19.06.2012, 11:56

martin05

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achso sorry geschockt

die Bedingung ist, dass diese Funktion MONOTON STEIGEND ist.

19.06.2012, 12:00

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von martin05
$\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \geq a \end{eqnarray*}$

Gut. Da $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \end{eqnarray*}$ monoton steigt, kannst Du dieses a für das angegebene Intervall angeben.

Viele Grüße
Steffen

19.06.2012, 12:08

martin05

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ich komm aber nicht auf richtige Werte

zB.: x=1 da $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \geq a \end{eqnarray*}$ ist, muss a also
$\begin{eqnarray*} 2e^{2*1} \geq 14,5 \end{eqnarray*}$ sein.

und das ist in der Funktion aber $\begin{eqnarray*} e^{2*1}-1*14,778=-7,1 \end{eqnarray*}$ das ist doch falsch oder?

19.06.2012, 12:13

martin05

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HABS KAPIERT Freude

tut mir leid, dass ich jetzt nochmal so blöd gefragt hab.
habs mir bei WolfraAlpha angeschaut und sie steigt nun so wie ichs möchte.

danke und LG
Martin

19.06.2012, 12:44

martin05

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(muss mich wieder korrigieren...)
ich bekomme leider keine monoton steigende Funktion heraus...

Wolfram Alpha

habe a durch $\begin{eqnarray*} 2e^{2x}-0,5 \end{eqnarray*}$ ersetzt.
das -0,5 hab ich eingefügt, damit die Funktion steigt.

19.06.2012, 13:01

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von martin05
zB.: x=1 da $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \geq a \end{eqnarray*}$ ist, muss a also
$\begin{eqnarray*} 2e^{2*1} \geq 14,5 \end{eqnarray*}$ sein.

Richtig. Kleiner als 14,778...

Zitat:

Original von martin05
und das ist in der Funktion aber $\begin{eqnarray*} e^{2*1}-1*14,778=-7,1 \end{eqnarray*}$ das ist doch falsch oder?

Was die Funktion für Werte annimmt, ist wurscht. Sie soll nur monoton steigen.

Viele Grüße
Steffen

19.06.2012, 13:06

martin05

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ach ich hatte, weil sie negativ wird, immer an monotones fallen gedacht. blöd von mir.

danke nochmal

19.06.2012, 15:06

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von martin05
zB.: x=1 da $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \geq a \end{eqnarray*}$ ist, muss a also
$\begin{eqnarray*} 2e^{2*1} \geq 14,5 \end{eqnarray*}$ sein.

Richtig. Kleiner als 14,778...

Tut mir leid, ich muß hier noch eine Korrektur anbringen, die ich zu spät gesehen habe.

Es geht ja um das gesamte Intervall [0;1], in dem $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} - a \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten soll, nicht nur den rechten Rand. Im Gegenteil, hier ist es nicht zielführend, den rechten Rand zu betrachten, denn da hat $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \end{eqnarray*}$ ja den größten Wert. Für den linken Rand x=0 ergibt sich aber $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} = 2 \end{eqnarray*}$ und damit der tatsächlich größte Wert, den a im gesamten Intervall annehmen darf, ohne daß die Ableitung negativ wird.

Viele Grüße
Steffen

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