Eindeutigkeit des Genzwerts

29.01.2007, 16:32

merlin25

Eindeutigkeit des Genzwerts

Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen und könnte ein wenig Hilfe gebrauchen.

a)
Zeige, das bei der Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit einer Folge $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ von k-dimensionalen Zufallsvektoren der Grenzwert eindeutig bestimmt ist.
$\begin{eqnarray*} X_n \longrightarrow a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X_n \longrightarrow b \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ (wobei ich in LaTeX wieder die Beschriftung auf und unter dem Pfeil nicht hinbekomme auf dem Pfeil " $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ " und darunter " $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ ")

b)
Zeige, das bei der Konvergenz nach Verteilung einer Folge $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ reeller Zufallsvariablen die Verteilung des Grenzwerts eindeutig bestimmt ist.
$\begin{eqnarray*} L(X_n) \longrightarrow L(X) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} L(X_n) \longrightarrow L(Y) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} L(X)=L(Y) \end{eqnarray*}$ (wobei unter den Pfeilen " $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ " steht)

Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass die Verteilungsfunktionen von X und Y übereinstimmen.

Ich weiß leider nicht genau wie ich das zeigen kann.

29.01.2007, 16:45

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn bisher versucht? Du musst doch zunächst mal wenigstens die Definitionen beider Konvergenzarten herannehmen und auf die vorliegenden Fälle übertragen!

29.01.2007, 17:56

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe folgendes in meinem Skript finden können:

Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit
Die Folge $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ k-dimensionaler Zufallsvektoren heißt konvergent nach Wahrscheinlichkeit wenn gilt:
Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P_n\{ ||X_n-a||< \epsilon\} =1 \end{eqnarray*}$

Was damit gemeint ist kann ich mir recht gut vorstellen das ganze lässt sich ja auch ein wenig anders über eine Umgebung ausdrücken.

Bei der Verteilungskonvergenz wird es finde ich schon schwerer - da finde ich folgendes:
Seien $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ reelle Zufallsvariablen mit Verteilung $\begin{eqnarray*} (P{X_n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ und Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} (F{X_n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ dann heißt $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ konvergent nach Verteilung, wenn eine der beiden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

1. Für alle Stetigkeitsstellen $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} P\{ X_n \leq a\} = F_{X_n}(a) \longrightarrow F_X(a) = P\{ X \leq a\} \end{eqnarray*}$

Hier verstehe ich nicht genau was gemeint ist.

29.01.2007, 18:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von merlin25
Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P_n\{ ||X_n-a||< \epsilon\} =1 \end{eqnarray*}$

Fangen wir mal damit an, gleiches gilt ja dann auch für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } P( |X_n-b|< \epsilon) =1 \end{eqnarray*}$

(Betragszeichen genügen statt "Norm"). Wir legen also um beide Grenzwerte eine Epsilon-Umgebung.

Nun indirekter Beweis: Im Fall $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ können wir $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ klein genug wählen, dass diese Epsilon-Umgebungen disjunkt sind, konkret z.B. für $\begin{eqnarray*} \epsilon_0=\frac{|b-a|}{2} \end{eqnarray*}$ . D.h., die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A_n = \left\{ \omega \Bigm| |X_n(\omega)-a|< \epsilon_0 \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_n = \left\{ \omega \Bigm| |X_n(\omega)-b|< \epsilon_0 \right\} \end{eqnarray*}$

sind disjunkt, und zwar für alle (!) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Den Widerspruch dieser Disjunktheit zu den Grenzwertaussagen über die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B_n) \end{eqnarray*}$ oben überlasse ich dir.

29.01.2007, 20:54

merlin25

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke jetzt habe ich es zum Teil verstanden.

Nur das $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist nicht ganz klar.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }P\{ |X_n-a|<\epsilon_0\} =1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }P\{ |X_n-b|<\epsilon_0\} =1 \end{eqnarray*}$

Nun das scheint ja schon ein Widerspruch zu sein, denn $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ sind laut unserer Definition ja disjunkte Ereignisse. Daher kann ja die Wahrscheilichkeit nicht bei beiden eins sein.

Stimmt das?

29.01.2007, 22:10

Auf diesen Beitrag antworten »

So formuliert ist es etwas unsauber: Der Grenzwert der Wahrscheinlichkeiten ist 1, nicht die Wahrscheinlichkeiten selbst! Da machst du besser noch einen Zwischenschritt, um den Beweis wasserdicht zu gestalten.

Neue Frage »

Antworten »

Eindeutigkeit des Genzwerts

Verwandte Themen