Kurze Erklärung zu einem allgemeinen Integral

19.06.2012, 16:54

chrlan

Kurze Erklärung zu einem allgemeinen Integral

Meine Frage:
wie löst man ein integral der form:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} F(x,y)dxdy \end{eqnarray*}$
wobei die Funktion F(x,y) natürlich auch gegeben ist?

Meine Ideen:
Kann ich das so verstehen:
$\begin{eqnarray*} \int\left(\int F(x,y)dx\right)dy \end{eqnarray*}$
oder funktioniert das doch anders?

19.06.2012, 17:00

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube da hilft dir im konkreten Fall nur der Satz von Fubini weiter.

19.06.2012, 17:07

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: kurze erklärung zu einem allgemeinen integral
Der Satz von Fubini hilft aber nur wenn er auch anwendbar ist, das heisst also falls $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ bezüglich des Produktmasses integrierbar ist [wofür der Satz von Tonelli hilfreich ist].

Erst dann darfst du wirklich

Zitat:

Original von chrlan
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} F(x,y)dxdy \end{eqnarray*}$

als

Zitat:

Original von chrlan
$\begin{eqnarray*} \int\left(\int F(x,y)dx\right)dy \end{eqnarray*}$

verstehen. Im Allgemeinen sind nämlich diese beiden Integrale nicht dasselbe.

19.06.2012, 17:07

chrlan

Auf diesen Beitrag antworten »

also funktioniert das doch im Prinzip so oder verstehe ich den satz jetzt falsch?

19.06.2012, 17:15

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

@system-agent
Oh, wir hatten das damals als einen Satz kennengelernt, also Fubini und Tonelli . Der arme Kerl ist also nicht zu seinem Recht gekommen ^^

19.06.2012, 20:32

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chrlan
also funktioniert das doch im Prinzip so oder verstehe ich den satz jetzt falsch?

Ja, im Prinzip schon, sofern man eben den Satz von Fubini auch anwenden kann, der sagt nämlich genau dass man so ein "mehrdimensionales" Integral auf viele "eindimensionale" Integrale umschreiben kann.
Und den Satz kann man anwenden, wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ bezüglich des Produktmasses integrierbar ist - das muss man eben immer noch gesondert nachweisen.

@Cordovan
Man kann den Satz von Tonelli mit Hilfe des Satzes von Fubini beweisen, aber es geht genauso andersherum, also die sind in gewissen Sinne schon unabhängig. Der gute Tonelli hat seinen Platz schon verdient Augenzwinkern

.
Das wichtige bei Tonelli ist eben gerade, dass die Integrierbarkeit bzgl des Produktmasses nicht vorausgesetzt wird - diese Integrierbarkeit kann man mit dem Satz nämlich folgern [auf Wikipedia ist das ganz nett beschrieben].

Neue Frage »

Antworten »

Kurze Erklärung zu einem allgemeinen Integral

Verwandte Themen