Integrieren mit Substitution :(

29.01.2007, 16:50

SilverBullet

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Integrieren mit Substitution :(

Hallo zusammen,

ich hab noch absolut keinen Durchblick wie ich mit Substitution integriere unglücklich

unglücklich

Hab mir zwar auf Wikipedia und im Königsberger usw.. was durchgelesen jedoch verstehe ich das einfach absolut nicht.

In der Vorlesung hatten wir durch Substitution beispielsweise
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac 1 {x*ln(x)}~dx \end{eqnarray*}$

Ist ja auch nicht schwer so zu sehen das die Stammfunktion F(x) = ln(ln(x) ist jedoch wäre es super wenn mir das mal jemand hier zeigt wie das mit Substitution gemacht wird.

Ich sag da also einfach y=ln(x) und dann leite ich das ab y'=1/x.
Aber wieso ? Und vor allem was dann und wie wird das eingesetzt unglücklich

unglücklich

Liebe Grüße
Marc

29.01.2007, 16:58

Calvin

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RE: Integrieren mit Substitution :(

Zitat:

Original von SilverBullet
Ich sag da also einfach y=ln(x) und dann leite ich das ab y'=1/x.
Aber wieso ?

Es darf nach der Substitution kein x mehr im Integral sein. Alle x müssen durch Ausdrücke mit y ersetzt werden. Ableiten musst du, damit du das dx am Ende ersetzen kannst.

Schreibe $\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du das mit normalen Rechenregeln zu $\begin{eqnarray*} \dd x=x\dd y \end{eqnarray*}$ umstellen.

Jetzt konsequent alles einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x\ln x}\,\dd x=\int~\frac{1}{xy}x\,\dd y=\int~\frac{1}{y}\,\dd y \end{eqnarray*}$

Dieses Integral kannst du lösen und danach y wieder durch den entsprechenden Ausdruck mit x ersetzen.

29.01.2007, 17:05

SilverBullet

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Jo und genau hier verstehe ich einfach nichts mehr.

Das hantieren mit dy/dx usw. ist mir ein Rätsel aber vielleicht kann man das ja einfach mal so hinnehmen ?!

Wo jedoch kommt hier das x her ? 1/(xy) wäre mir noch klar aber das 2te x hmm ?

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{xy}x\,\dd y \end{eqnarray*}$

29.01.2007, 17:06

Calvin

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RE: Integrieren mit Substitution :(
Das kommt von der Substitution des dx

Zitat:

Original von Calvin
Schreibe $\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du das mit normalen Rechenregeln zu $\begin{eqnarray*} \dd x=x\dd y \end{eqnarray*}$ umstellen.

29.01.2007, 17:10

AD

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Zitat:

Original von SilverBullet
Das hantieren mit dy/dx usw. ist mir ein Rätsel aber vielleicht kann man das ja einfach mal so hinnehmen ?!

Du musst es ja nicht einfach so hinnehmen: Wenn du neugierig genug bist, dann schau dir doch den Beweis der Substitutionsregel an. smile

smile

29.01.2007, 17:18

SilverBullet

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Hmm naja mir geht es in erste Linie darum es irgendwie zu verstehen. Noch habe ich es leider immer noch nicht verstanden unglücklich

unglücklich

Also die Sache mit dx und umstellen und dann wird aus y(x)= ln(x) und y'= 1/x dann dy/dx und deswegen dann der Term oben *puh*

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29.01.2007, 17:31

derkoch

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$\begin{eqnarray*} u= ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{du}{dx}= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot du= dx \end{eqnarray*}$

einsetzen und fertig! wo ist da das problem?

29.01.2007, 18:00

SilverBullet

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Hmm ja nee smile

smile

Also ich nehme mir das ln(x) aus dem Nenner damit also u(x) = ln(x) dann ist u'(x) = 1 / x

Dann setze ich das wieder ein und erhalte :

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {x*\frac 1 x} \end{eqnarray*}$

klar ist das jetzt falsch aber so verstehe ich das unglücklich

unglücklich

29.01.2007, 18:03

derkoch

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warum schreibst du jetzt an stelle des ln(x) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

hast du nicht eben $\begin{eqnarray*} ln(x) = u \end{eqnarray*}$ substituiert? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.01.2007, 18:09

SilverBullet

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Hmm nagut dann würde ich es so machen

$\begin{eqnarray*} int~\frac 1 {x\cdot u} = \frac {ln(x)} {u} \end{eqnarray*}$
und wie bekomm ich daraus ln(ln(x)) ?

Das stimmt wieder vollkommen nicht unglücklich

unglücklich

ARgh ich weiß einfach nicht weiter

29.01.2007, 18:12

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac 1 {x*ln(x)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u= ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot du= dx \end{eqnarray*}$

ich hoffe zumindest, daß du jetzt einsetzen und kürzen kannst! wenn ich noch mehr schreibe ist die aufgabe komplett bearbeitet! Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.01.2007, 18:20

SilverBullet

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Jo hab es einfach mal so aufgeschrieben und es passt.

Das mit dem lösen ist ja hier nicht so das Problem das Integral hatten wir als Beispiel ja schon in der Vorlesung gelöst aber hab das einfach nicht verstanden.

Kennst du vielleicht noch ein Integral an dem ich es mit Substitution versuchen kann ?

29.01.2007, 18:24

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~[sin(x) \cdot cos(x)]~dx \end{eqnarray*}$

29.01.2007, 18:33

SilverBullet

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Ok mal wieder keine Ahnung ich mache einfach mal Step by Step Big Laugh

Big Laugh

Also

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~[sin(x) \cdot cos(x)]~dx \end{eqnarray*}$

Da substituiere ich einfach mal

$\begin{eqnarray*} y = cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'= \frac {du} {dx} = -sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac {du} {-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Stimmt das erstmal so ?

29.01.2007, 18:37

derkoch

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ja kannst du so machen! ne substitution von u= sin(x) ist hier auch möglich!

29.01.2007, 18:47

SilverBullet

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Hmm nagut hab gedacht das ich da mit dem du/dx = -sin(x) schon was falsch habe ^^

Mit obrigem ergibt sich dann :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~[sin(x) \cdot y ~\frac {du} {-sin(x)} \end{eqnarray*}$

und das ist :

$\begin{eqnarray*} -cos(x) y = \frac {-cos(x) *cos(x)} {-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Hm also so richtig überzeugt bin ich von meiner Lösung selbst nicht ^^

29.01.2007, 18:52

derkoch

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hää? wo kommt das y plötzlich her? und wieso sollte das plötzlich
-cos(x) sein? was hast du denn integriert?

29.01.2007, 18:57

SilverBullet

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Naja ich hab ja aus dem Ausgangsintegral mein cos(x) durch y substituiert. Daher kommt das y.

Und die "Aufleitung" von sin(x) ist -cos(x).

Seh nur leider nicht wo ich da den Fehler hab unglücklich

unglücklich

29.01.2007, 19:02

derkoch

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$\begin{eqnarray*} y'= \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

und nicht du!

$\begin{eqnarray*} y= cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'= \frac{dy}{dx}=-sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{-sin(x) }=dx \end{eqnarray*}$
ist nur noch stumpfes einsetzen!

29.01.2007, 19:11

SilverBullet

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Ja das hatte ich genau so nur halt du und dy vertauscht Big Laugh

Big Laugh

Schonmal gut dann muss das Problem ja hier jetzt kommen.

Da ich cos(x) durch y substituiert habe erhalte ich erst einmal :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~[sin(x) \cdot y] ~\frac {dy} {-sin(x)} \end{eqnarray*}$

Alles klar jetzt kommt der Schritt den ich oben nicht gesehen habe ich kann hier kürzen..
Frage : Kann man bei folgendem Schritt immer kürzen egal bei welchem Integral ?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac {sin(x) y dy} {-sin} =\int_{}^{}~ -y dy= \frac {-1} {2} y^2 \end{eqnarray*}$

Nun mache ich die Substitution wieder rückgängig und erhalte :

$\begin{eqnarray*} \frac {-(cos(x))^2} {2} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut allerdings sagt mir Derive, dass da eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac {sin(x)^2} {2} \end{eqnarray*}$ rauskommen müsste ?!

29.01.2007, 19:27

derkoch

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Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac {sin(x) y dy} {-sin} =\int_{}^{}~ -y dy = {-sin(x)} = \frac {-1} {2} y^2 \end{eqnarray*}$

Soweit so gut allerdings sagt mir Derive, dass da eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac {sin(x)^2} {2} \end{eqnarray*}$ rauskommen müsste ?!

das ergebnis von derive ist richtig! allerdings sollte ein F(x) davor!

was mich stört ist

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ -y dy = {-sin(x)} = \frac {-1} {2} y^2 \end{eqnarray*}$

was sucht -sin(x) da?

29.01.2007, 19:31

SilverBullet

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Eigentlich garnichts am besten einfach nicht beachten denn das enstand beim Kampf mit Latex ^^

Hmm also irgendwas muss ich doch falsch gemacht haben unglücklich

unglücklich

29.01.2007, 19:36

derkoch

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$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ -y dy = \frac {-1} {2} y^2 \end{eqnarray*}$

hast doch schon das ergebnis da stehen!

jetzt nur noch resubstituieren!

29.01.2007, 19:39

SilverBullet

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Jo genau und dann schaue ich halt mal oben nach und sehe ich habe cos(x) durch y substituiert also setzte ich cos(x) wieder für y ein und erhalte

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac {-(cos(x))^2} {2} \end{eqnarray*}$

29.01.2007, 19:41

derkoch

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schreibe doch bitte F(x) davor! sonst ist es halb schrott!

kannst selber nachprüfen, wenn du es ableitest!

29.01.2007, 19:43

SilverBullet

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Argh dann gibt es hier tatsächlich 2 verschiedene Stammfunktionen ? WOW

Dachte immer gilt : F(x) ist Stammfunktion zu f(x), so ist F(x) + C auch eine Stammfunktion mit einer Konstanten C.

Anscheinend gibt es wohl mehrere Stammfunktionen.

Naja ist ja auch Wurscht hauptsache das hat erstmal so halb geklappt ^^

Vielen DANK ! Gott

Gott

29.01.2007, 19:46

derkoch

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100% muß da +C noch hin!

da hab ich ein wenig geschlampt! traurig

traurig

kannst ja so vorstellen:

C sind ja Konstanten, die fallen ja beim ableiten alle weg!

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