Matrix regulär?

19.06.2012, 18:06	Joey99	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix regulär? hey leute ich hab da eine frage und zwar soll ich zeigen dass die matrix $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \begin{pmatrix} A & 0 & I & 0 \\ 0 & A^{t} & 0 & -I \\ Z & 0 & 0 & X \\ 0 & W & Y & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ regulär ist falls A vollen zeilenrang hat und die anzahl der zeilen kleiner gleich der anzahl der spalten ist. Weiters sind X,Y,Z,W Diagonalmatrizen mit strikt positiven Einträgen . mit I ist die Einheitsmatrix gemeint ... Also ich hab mal so gemcht dass ich überprüft habe ob diese Matrix injektiv ist und zwar habe ich angenommen es gibt eine lösung des LGS : $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \begin{pmatrix} A & 0 & I & 0 \\ 0 & A^{t} & 0 & -I \\ Z & 0 & 0 & X \\ 0 & W & Y & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ w \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \\0\\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ w \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^{m+n+n+m} \end{eqnarray}$ Also ich hab mal die erste restriktion mit dem y vektor multipliziert und die zweite mit dem x vektor dann addiere ich die zwei und bekomme $\begin{eqnarray} y^{t} w + x^{t} z =0 \end{eqnarray}$ Den dritten und vierten gelichungs block kann ich ja nach x und y auflösen und somit bekomme ich nach einsetze in die davor bekommene Gleichung : $\begin{eqnarray} w^{t}YW^{-1}w+z^{t}XZ^{-1}z=0 \end{eqnarray}$ da die matrizen beide positiv definit sind folgt ja schliesslich dass w und z gleich null sein müssen .... hieraus folgt dann auch dass x und y null sein müssen ... naja und damit habe ich ja schliesslich gezeigt dass die obige matrix abbildung injektiv ist da ja der kern nur aus dem nullvektor besteht . dies heisst jedoch auch dass die matrix regulär ist ... jetzt meine Frage : Wo ist mein Fehler ? ich hätte doch sicherlich irgendwo benützen sollen dass die matrix A vollen rang hat oder ? Latextag korrigiert, Helferlein
20.06.2012, 12:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Joey, Ich sehe keinen Fehler in der Argumentation. Anscheinend wird der Vollrang hier nicht benötigt. Gruß, Reksilat.
20.06.2012, 14:08	joey99	Auf diesen Beitrag antworten »
hey danke für die schnelle antwort .... hmmm ja das habe ich mir auch gedacht aber in der Angabe steht eben noch das mit vollem rang ... das kann doch nicht ganz unnütz sein ?
20.06.2012, 20:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht gibt es noch einen anderen Lösungsweg, der diese Voraussetzung verwendet. Ich habe zwar noch eine Idee mit der Determinante für Blockmatrizen, aber auch da benötige ich es nicht. Vielleicht wird diese Aussage ja später irgendwo benötigt, wo A dann Vollrang hat. Gruß, Reksilat.

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