Dimension eines Zerfällungskörpers über F9

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Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Zerfällungskörpers über F9
Hallo, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe und würde gerne wissen,ob es noch andere/schnellere Lösungswege gibt:



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Ich habe als Nullstelle von f behandelt und durch formale Polynomdivision herausbekommen, dass


Da Charakteristik 3 hat, kann man das auch als


schreiben. Also reicht es eine Nullstelle von f zu adjungieren, damit es in Linearfaktoren zerfällt.

Mein Problem liegt nun daran, die Irreduzibilität von f über F_9 zu begründen. Dann wäre die Dimension nämlich 3.

Über Hilfe bin ich sehr dankbar!

Edit: Mir ist schon klar, dass man alle Elemente von einsetzen könnte, denn wenn es reduzibel wäre, müsste eine Nullstelle schon in dem Körper liegen, aber da müsste es eigentlich eine schnellere Methode geben, da die Aufgabe aus einer Klausur kommt.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn deine Zerlegung stimmt (hab's nicht nachgerechnet) sind wg. 2=-1
NST falls eine ist. D.h es genügt drei geeignete Werte (z.B. 0,X,-X) zu überprüfen.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! Also kommt man wohl nicht um das einsetzen rum. Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit um nachzuweisen, dass es reicht nur eine Nullstelle zu adjungieren? Dass man direkt diese Faktorisierung sieht ist meines Erachtens nämlich schon eine Glückssache.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ums Einsetzen kommt man in endlichen Körpern kaum herum, man hat dort ja keine Irreduzibilitätskriterien.

Ich seh' auch außer der Faktorisierung keine andere Möglickeit den Erweiterungsgrad 3 zu zeigen.
In einer Klausur besteht auch immer die Möglichkeit, dass die Aufgabe in den Übungen dran war, was den Schwierigkeitsgrad doch erheblich senkt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du Galoistheorie zur Verfügung hast:

Die Diskriminante von f ist 1 (in ), insbesondere ein Quadrat. Daher gilt , d.h. entweder oder .

Das zeigt einem auch direkt, dass f entweder irreduzibel ist (und dann der Zerfällungskörper Grad 3 hat) oder vollständig zerfällt.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Bestätigung Captain Kirk.

Galoistheorie behandeln wir nicht dieser Vorlesung ("Computeralgebra"), die Idee sieht aber sehr interessant aus.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Eines ist sicher, nämlich dass f(x) in keine Nullstelle haben kann... Wäre nämlich a eine solche, also dann , so hätte man den Widerspruch



Insbesondere ist also f(x) als Polynom über irreduzibel...
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