Grenzwert - Verständnisproblem

19.06.2012, 20:42	AlfG	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert - Verständnisproblem Meine Frage: Hallo zusammen! Folgendes beschäftigt mich: die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2x+1}{x+2} \end{eqnarray}$ hat den Grenzwert 2. Definitionsbereich sind die reellen positiven Zahlen. In meinem Buch steht: Ab einem gewissen $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ (das von der Wahl von $\begin{eqnarray} \mathcal{E} \end{eqnarray}$ abhöngt) gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|f(x)-g \| < \mathcal{E} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: in meinem Beispiel (siehe Bild im Anhang) liegt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ bei 4. Das heisst alle für alle x die grösser sind als 4 liegt f(x) in der Epsilon-Umgebung. Nur eine endliche anzahl Elemente liegt ausserhalb der Epsilon-Umgebung. In meinem Beispiel liegen alle Argumente kleiner 4 ausserhalb dieser Umgebung. ABER: f(2)=1.25 $\begin{eqnarray} \|1.25-2 \| < \mathcal{E} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \|0.75 \| < 1.5 \end{eqnarray}$ sowie f(0.1)=0.571429 $\begin{eqnarray} \|1.42857\| < 1.5 \end{eqnarray}$ Für Elemente grösser x_0: f(8)=1.7 $\begin{eqnarray} \|0.3\| < 1.5 \end{eqnarray}$ damit will ich sagen, dass diese Gleichung ja für JEDES Element des Definitonsbereichs erfüllt ist. Ich versteh das einfach nicht! So macht das ja keinen Sinn. Hoffe jemand bringt hier Licht ins Dunkel. Herzlich AlfG
19.06.2012, 20:57	tommi1234	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner Zeichnung ist $\begin{eqnarray} \mathcal{E}=0,5 \end{eqnarray}$ ?
19.06.2012, 22:38	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Tommi schon bemerkt hat, ist das $\begin{eqnarray} \mathcal{E} \end{eqnarray}$ wichtig ! Wenn $\begin{eqnarray} \mathcal{E}=0,5 \end{eqnarray}$ so rechnest Du für f(2)=1.25 $\begin{eqnarray} \|1.25-2 \| < \mathcal{E} \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} \mathcal{E}=0,5 \end{eqnarray}$ so gilt NICHT $\begin{eqnarray} \|0.75 \| < 0,5 \end{eqnarray}$ Also liegt f(x=2) nicht im gewünschten Bereich !
19.06.2012, 23:09	Alfred Gäbeli	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal bin ich einfach zu borniert um das offensichtliche zu sehen.. Jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank! AlfG

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