Runge-Kutta-Verfahren (Mittelpunktmethode + Heunsche Verfahren)

19.06.2012, 22:11

sbr3

Runge-Kutta-Verfahren (Mittelpunktmethode + Heunsche Verfahren)

Ich berechne folgende Aufgabe:

Zitat:

Der Trainer möchte die Leistungsfähigkeit der einzelnen Spieler quantifizieren: Die Funktion y stellt den Leistungsstand eines Spielers in Abhängigkeit des Spieltages x dar. Da der Trainer früher einmal Mathematik studiert hat, stellt er eine Differenzialgleichung für y auf, diese lautet

$\begin{eqnarray*} xy' + 2y - \frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Am ersten Spieltag ist der Leistungsstand gleich 2: $\begin{eqnarray*} y(1) = 2. \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie mithilfe der Mittelpunktmethode eine Näherung an den Wert $\begin{eqnarray*} y(2) \end{eqnarray*}$ ; benutzen Sie dabei die Schrittweite $\begin{eqnarray*} h = 0,5 \end{eqnarray*}$ .

Laut Aufgabenstellung muss ich die Mittelpunktmethode anwenden.

Zitat:

Definition:

Das zur Anfangswertaufgabe

$\begin{eqnarray*} y'(x) = f(x,y),y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$

gehörende Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung

$\begin{eqnarray*} x_{i+1}=x_i + h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+h f\left(x_i+\frac{h}{2}, y_i+\frac{h}{2} f(x_i,y_i) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i=0,1,...,N-1 \end{eqnarray*}$

heisst Mittelpunktmethode.

Nun mein Ansatz:

ich stelle die Formel des Anfangswertproblems in die Form $\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$ um:

$\begin{eqnarray*} xy' + 2y - \frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray*}$ /-2y und *1/x

$\begin{eqnarray*} y' = f(x,y) = \frac{1}{x^2} - \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich $\begin{eqnarray*} y' = f(x,y) = \frac{1}{x^2} - \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+h f\left(x_i+\frac{h}{2}, y_i+\frac{h}{2} f(x_i,y_i) \right) \end{eqnarray*}$ ein.

Das Ergebnis lautet:

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{(x_{i}+\frac{1}{4})^{2}} - \frac{2\cdot (y_{i}+\frac{1}{4}(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2y}{x}) }{x_{i}+\frac{1}{4} } \right) \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} y_{0}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ in die obige Gleichung einsetze, dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} y_{1}=1,32 \end{eqnarray*}$

Zur Kontrolle führe ich das Heunsche Verfahren durch:

Zitat:

Allgemein: $\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+\frac{h}{4} \left[f(x_{i},y_{i}) +3f\left(x_{i}+\frac{2h}{3}, y_{i}+ \frac{2h}{3} f(x_{i},y_{i}) \right) \right] \end{eqnarray*}$

Nun setze ich $\begin{eqnarray*} y' = f(x,y) = \frac{1}{x^2} - \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$ ein.

Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+\frac{1}{8} \left[\frac{1}{x^{2}}-\frac{2y}{x} +3\left(\frac{1}{(x_{i}+\frac{1}{3})^{2} } -\frac{2\left(y_{i}+\frac{1}{3}(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2y}{x}) \right) }{x_{i}+\frac{1}{3} } \right) \right] \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} y_{0}=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ in die obige Gleichung einsetze, dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} y_{1}=1,27 \end{eqnarray*}$

Nun meine Fragen:

- Sollten die Ergebnisse von Mittelpunktmethode und dem Heunschen Verfahren nicht identisch sein?

- Ist mein Ansatz der Aufgabe in der Form korrekt? Die Form $\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{x^2} - \frac{2y}{x} \end{eqnarray*}$ sieht mir irgendwie "Falsch" aus, denn durch das x im Nenner verkompliziert sich die Sache um einiges...

Wäre auch Dankbar für jeglich weiteres Feedback bezüglich der Aufgabenlösung.

Danke

20.06.2012, 11:51

Dopap

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zur Kontrolle: das AWP liefert $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac {x+1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Genauer Wert: $\begin{eqnarray*} y(1.5)=\frac {10}{9}=1.111111111 \end{eqnarray*}$

Ansonsten kann ich nichts Falsches entdecken.

Nur bei der Schreibfigur nach Heun fände ich es schöner

Zitat:

Allgemein: $\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+\frac{h}{4} \left[f(x_{i},y_{i}) +3f\left(x_{i}+\frac{2h}{3}, y_{i}+ \frac{2h}{3} f(x_{i},y_{i}) \right) \right] \end{eqnarray*}$

statt $\begin{eqnarray*} \frac h 4 \end{eqnarray*}$ einfach h zu schreiben und die 4 in Klammer zu nehmen. Es erscheint dann dort das gewichtete Mittel von 2 Funktionswerten

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+h \left[\frac 14 f(x_{i},y_{i}) +\frac 34 f\left(x_{i}+\frac{2h}{3}, y_{i}+ \frac{2h}{3} f(x_{i},y_{i}) \right) \right] \end{eqnarray*}$

und der optische Gleichschritt

$\begin{eqnarray*} x_{i+1}=x_i + h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+ h[ \cdots ] \end{eqnarray*}$ bleibt gewahrt.

Zur Gleichheit beider Verfahren ist wohl nur zu sagen, dass Sie von der gleichen (2-ten ) Ordnung sind, numerisch gleich. Ungefähr so wie beim Newton-Verfahren versus Regula Falsi bei der Nullstellenbestimmung. Beide konvergieren "quadratisch" aber das weisst du ja sicher schon lange selbst.

Erfreulich ist die saubere Darstellung, angenehm zu lesen! Freude

23.06.2012, 12:45

sbr3

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Danke für den Hinweis bezüglich der Heunschen Schreibfigur, schaut in deiner Form doch einiges sinnvoller aus.

Leider habe ich die Aufgabe noch nicht ganz verstanden:

- Anfangs habe ich Mittelpunktsmethode und das Heunsche Verfahren angewendet, um das AWP näherungsweise zu lösen.

- Nun habe ich zwei näherungsweise Lösungen, aber keine exakte Lösung zur Kontrolle auf richtigkeit der ersten beiden

Folgende überlegung:

- Ermittlung der eindeutigen Lösung:

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac {c_{1}+x}{x^2} \end{eqnarray*}$ (Die Einzelschritte erspare ich hier an der Stelle, da wir beide auf das gleiche Ergebnis kommen)

Mit $\begin{eqnarray*} y(1)=2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} c_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Die exakte Lösung des AWP sollte nun also $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac {x+1}{x^2} \end{eqnarray*}$ sein, und somit würde für $\begin{eqnarray*} y(2)=0,75 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Nun steh ich also vor dem folgenden Problem:

$\begin{eqnarray*} y_{exakt }(2)=0,75 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{Mittelpunktmethode}(2)=1,32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{Heun }(2)=1,27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y_{exakt}(x) \approx \frac{1}{y_{Mittelpunktmethode}(x)} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Aufgabe immer und immer wieder durchgerechnet und kam immer wieder zu den gleichen Ergebnissen. Also legte ich meine Mathesachen nun für paar Tage bei Seite, und hab heute das ganze wieder durchgerechnet... und wieder komm ich zum gleichen Ergebnis.

Sind die reziproken Ergebnisse nun purer Zufall, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Oder habe ich gar etwas Grundlegendes dieser Thematik und dieser Aufgabenstellung nicht verstanden?

23.06.2012, 19:00

sbr3

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Dank eines netten Hinweises aus dem http://www.matheforum.net bin ich nur auf meinen Fehler aufmerksam gemacht worden!

Zitat:

Nun steh ich also vor dem folgenden Problem:

$\begin{eqnarray*} y_{exakt }(2)=0,75 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{Mittelpunktmethode}(2)=1,32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{Heun }(2)=1,27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y_{exakt}(x) \approx \frac{1}{y_{Mittelpunktmethode}(x)} \end{eqnarray*}$

Diese Annahme ist Falsch!

um mit der Mittelpunktmethode auf x=2 zu kommen braucht es natürlich 2 Schritte der Länge 0.5!

Zur Anschauung noch einmal eine Wertetabelle der Ergebnisse:

[attach]25050[/attach]
EDIT Math1986: Bilder bitte immer im Forum hochladen

@Dopap:

Vielen Dank für deine Hilfe

25.10.2020, 12:06

prokne

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Hallo!

ich stehe vor der selben Aufgabe, habe aber Probleme beim Einsetzen.
Der Teil mit f(xi + h/2) ist klar.

Ich komme aber einfach nicht dahinter wo im rechten Abschnitt (quasi das f(yi + h/2(f(xi,yi)) der
Gleichung das xi + 1/4 unter dem Bruchstrich herkommt? Bzw speziell das + 1/4.
Ich gehe mal davon aus, dass es auch hier h/2 ist, aber wieso?

[attach]52043[/attach]

Danke schonmal!

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