Beweis: stetige Bilder kompakter Mengen=kompakt

20.06.2012, 11:46	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: stetige Bilder kompakter Mengen=kompakt Hi Der Satz besagt, dass alle Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind. Oder anders ausgedrückt, für die stetige Funktion f: X→Y gilt, dass wenn X kompakt ist, dann ist auch Y kompakt, wobei Y das Bild von X ist. mein Beweis: Für den Beweis nimmt man sich nun eine passende Funktion f: X->Y, die stetig ist. Wenn dann $\begin{eqnarray} \{O_v \} \end{eqnarray}$ ein Überdeckungssystem aus offenen Mengen von f(X)=Y ist, so ist die unendliche Menge $\begin{eqnarray} U_v=\{ f^{-1} (O_v ):O_v \in \{O_v \} \} \end{eqnarray}$ eine Überdeckung von X aus offenen Mengen. Sei $\begin{eqnarray} U_v' \end{eqnarray}$ eine endliche Teilüberdeckung(da X kompakt), dann ist $\begin{eqnarray} O_v' = \{ O_v \in \{O_v \} : f^{-1} (O_v ) \in U_v' \} \end{eqnarray}$ eine endliche Teilüberdeckung von f(X), also ist f(X)=Y auch kompakt. so meine Frage ist jetzt, wo genau ich hier die Stetigkeit benuzt habe^^ lg lilithilli
20.06.2012, 14:16	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stetigkeit hast du benutzt im Schluss: $\begin{eqnarray} O_v \end{eqnarray}$ offen, also $\begin{eqnarray} f^{-1}(O_v) \end{eqnarray}$ offen.
20.06.2012, 19:49	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
ah stimmt! vielen dank system-agent!! lg lilithilli

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »