Stetig differenzierbare Funktion in Abhängigkeit von a,b

20.06.2012, 20:29

martin05

Stetig differenzierbare Funktion in Abhängigkeit von a,b

Hallo Leute,

ich hätte eine Frage zu diesem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} ax^2, x\leq 1 \\ 1-bx, x>1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Bestimme a,b, im R so, dass f auf ganz R stetig differenzierbar ist.
Kann man a,b so wählen, dass f auf R zweimal stetig differenzierbar ist?

Da es sich um eine quadratische und eine lineare Funktion handelt, kann also nur die Übergangsstelle ein Problem sein.
Soll man also a, b so wählen, dass der Übergang möglichst klein ist? Zb.: a=b=0,5
Und wie ist die zweite Frage gemeint? Wegen der linearen Funktion kann ich die eh nicht 2x ableiten.

LG
Martin

20.06.2012, 20:38

fleurita

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RE: Stetig differenzierbare Funktion in Abhängigkeit von a,b

Zitat:

Original von martin05
Und wie ist die zweite Frage gemeint? Wegen der linearen Funktion kann ich die eh nicht 2x ableiten.

Warum denn nicht? smile

Dann ist die ableitung halt 0. Bin mir nit sicher obs so geht, aber du könntest beide ableiten und dann so $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bestimmen, dass die ableitung bei beiden abschnitten der funktion in $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ gleich ist.

20.06.2012, 21:02

martin05

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ich soll sie also Ableiten und mir dann a und b raus suchen?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a=-b \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} ax^2=1-bx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} wenn x=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=1-b \end{eqnarray*}$

Wenn man mit den zwei Gleichungen dann a und b sucht, bekommt man die Werte:

$\begin{eqnarray*} a=1/3 b=2/3 \end{eqnarray*}$

stimmt das so oder bin ich da am Holzweg?

20.06.2012, 21:30

fleurita

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dir ist ein kleiner fehler beim ableiten unterlaufen: $\begin{eqnarray*} f_1'(x)=2ax \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2'(x)=-b \end{eqnarray*}$ stimmt aber.

für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist die ableitung also immer $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ . An der übergangsstelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ sollten sie möglichst die gleiche steigung haben: $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ . Das hast du richtig gemacht mit $\begin{eqnarray*} 2a=-b \end{eqnarray*}$

Deine werte für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind aber falsch.

Du hast dieses lineare gleichungssystem richtig aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} I\quad 2a=-b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II\quad a=1-b \end{eqnarray*}$

nur dir muss wohl ein fehler unterlaufen sein. Das kann man daran sehen, weil du sowhl für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , als auch für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ positive werte hast. Damit ist $\begin{eqnarray*} ax^2 \end{eqnarray*}$ nach oben gebeugt für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , hat also eine positive steigung, $\begin{eqnarray*} 1-bx \end{eqnarray*}$ an besagter stelle aber eine negatvie steigung. Und das geht nicht.

20.06.2012, 21:38

martin05

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aha.
$\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$
hab einen Vorzeichenfehler gehabt...

Vielen Dank Fleurita! Ich glaub ich habs verstanden.

LG
Martin

20.06.2012, 21:42

fleurita

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bitte

jetz müsstest natürlich nur noch nachweisen, dass die ableitung überall und insbesondere in $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

20.06.2012, 21:58

martin05

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Zitat:

Original von fleurita
bitte smile

jetz müsstest natürlich nur noch nachweisen, dass die ableitung überall und insbesondere in $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

hmm...
Es ist ja jetzt offensichtlich, dass die Funktion stetig ist, aber wie zeige ich das?
Mit dem Limeskriterium?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} ax^2=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} 1-bx=1-b \end{eqnarray*}$ kann man das so beweisen?

20.06.2012, 22:03

fleurita

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jäp, nur tust du das grad für die funktion, du willst es aber doch für die ableitung machen smile

und außerdem sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht mehr irgwelche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

20.06.2012, 22:04

martin05

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aha. so jetzt hast endlich geschalten smile

Danke
Schönen Abend noch

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