Nicht faktorielle Ringe |
| 20.06.2012, 20:56 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Nicht faktorielle Ringe Kann man auf die schnelle zeigen, dass Z[sqrt(12)] und Z[sqrt(13)] nicht faktoriell sind? Für negative diskrimanten wir zb -5 klappt es wunderbar, aber hier hängts irgendwie. Hab es auch über die Norm versucht, aber auch da komme ich nicht weiter.. Vllt hat mir jemand einen Ansatz oder vllt bisschen mehr.. Danke für die Hilfe schon im voraus! |
||||||
| 20.06.2012, 21:23 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Z[sqrt(12)] ist nicht ganz-abgeschlossen (in seinem Quotientenkörper) und daher nicht faktoriell. In Z[sqrt(13)] ist 2 irreduzibel aber nicht prim. |
||||||
| 20.06.2012, 21:49 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das 2 in Z[sqrt(13)] nicht irreduzibel folgt ja daraus, dass man x^2 - 12y^2 = 2 nicht erfüllt werden kann oder täusche ich mich da? aber wieso ist es nicht prim? |
||||||
| 20.06.2012, 21:55 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kann dir nicht folgen. |
||||||
| 20.06.2012, 22:05 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
du hast ja geschrieben, dass 2 in Z[sqrt(13)] irreduzibel aber nicht prim ist. dass 2 irreduzibel ist, kann man mit Hilfe der norm zeigen oder nicht? N(x+y*sqrt(12)) = x^2 - 12*y^2 da N(2) = 4 ist und N(4)=N(2)N(2) muss ja gelten x^2-12*y^2, was nicht möglich ist.. aber dass es nicht prim ist, leuchtet mir nicht ein |
||||||
| 20.06.2012, 22:23 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah ok, richtig. Man müsste dann noch checken, warum man 2 nicht als Produkt von 2 Zahlen mit Norm und schreiben kann. Nicht prim: Das geht ganz ähnlich wie bei -5, betrachte |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 20.06.2012, 22:28 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah ok danke! nochmal eine frage zu Z[sqrt(12)]: reicht es da zu sagen, dass das polynom x^2 - 12 keine Lösung in Z hat und somit nicht ganz abgeschlossen ist? |
||||||
| 20.06.2012, 22:33 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist denn der Quotientenkörper von ? Du müsstest ein Element darin finden, dass ganz über , aber nicht enthalten in ist. |
||||||
| 20.06.2012, 22:39 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich nehme an, dass der quotientekörper gerade Q(sqrt(12)) ist..aber wie finde ich nun so ein element.. damit tu ich mir immer schwer.. |
||||||
| 20.06.2012, 22:48 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zu: 2 ist prim in Z[sqrt(13)]: 2 teilt (sqrt(13) + 1)*(sqrt(13) - 1). dann teilt 2 entweder den ersten oder den zweiten Faktor, dh sqrt(13) + 1 = 0 mod 2 und somit sqrt(13) = -1 mod 2. quadrieren ergibt: 13 = 1 mod 4 was wahr ist und somit teilt 2 den ersten Faktor und ist somit prim. richtig? |
||||||
| 20.06.2012, 22:54 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Wir wollen doch zeigen, dass der Ring nicht faktoriell ist. Wenn wir wissen, dass 2 nicht prim (aber irreduzibel) ist, ist das gezeigt. 2 kann nicht teilen, das sieht man anhand der Definition der Teilbarkeitsbeziehung. Anscheinend ist dir noch nicht aufgefallen, dass ist. Klingelt es jetzt? |
||||||
| 20.06.2012, 22:59 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
doch das ist mir aufgefallen, allerdings weiß ich nicht, was mir das bringt..ist dann der quotientenkörper durch Q(sqrt(3)) gegeben? ein element sehe ich dann trotzdem nicht auf anhieb^^ schaffs heute wohl nicht mehr^^ aber danke für die Hilfe und deine Geduld .. |
||||||
| 20.06.2012, 23:07 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja! Denn Q(sqrt(3)) enthält offensichtlich Z[sqrt(12)], ist ein Körper und jeder Körper über Z, der sqrt(12) enthält, enthält auch sqrt(3).
wie wäre es mit sqrt(3) ? |
||||||
| 20.06.2012, 23:24 | Joey2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok leuchtet mir nun ein^^ dh ich brauche nur noch eine Funktion aus Z[X], die sqrt(3) als nullstelle hat oder? dann wäre sqrt(3) ganz über Z[sqrt(12)] aber nicht darin enthalten.. dann mach ich mich mal auf die suche 
danke nochmal vielmals! |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
