Beweis falsch - wieso?

20.06.2012, 22:38

Gast11022013

Beweis falsch - wieso?

Meine Frage:
Hallo, ich habe hier ein Theorem, das bewiesen wird - und danach wird beschrieben, warum dieser Beweis recht besehen nicht stimmt. Aber diesen Einwand verstehe ich nicht und daher meine Nachfrage.

Voraussetzungen:

Zitat:

"A Note on substitution in conditional distribution", Perlman, Wichura
Let $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ be a probabilty space. Let $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{X},\mathcal{A})),(\mathfrak{Y},\mathcal{B}),(\mathfrak{Z},\mathcal{C}) \end{eqnarray*}$ , and $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{T},\mathcal{D}) \end{eqnarray*}$ be measurable spaces and suppose that $\begin{eqnarray*} X\colon\Omega\to\mathfrak{X},Y\colon\Omega\to\mathfrak{Y},Z\colon\mathfrak{Y}\to\mathfrak{Z} \end{eqnarray*}$ , and $\begin{eqnarray*} T\colon\mathfrak{X}\times\mathfrak{Z} \end{eqnarray*}$ are $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}-\mathcal{A},\mathcal{F}-\mathcal{B},\mathcal{B}-\mathcal{C} \end{eqnarray*}$ , and $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}\otimes\mathcal{C}-\mathcal{D} \end{eqnarray*}$ measurable. Let $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ be a probability measure on $\begin{eqnarray*} (\mathfrak{T},\mathcal{D}) \end{eqnarray*}$ .

The following proposition is commonly used in multivariate distribution theory and elsewhere:

Proposition 1:

(1) $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ is independent of $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , and for each $\begin{eqnarray*} z\in\mathfrak{Z} \end{eqnarray*}$ the random object $\begin{eqnarray*} T(X,z) \end{eqnarray*}$ has distribution $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ .

Then

(2) the random Object $\begin{eqnarray*} T(X,Z(Y)) \end{eqnarray*}$ also has distribution $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ and is independent of $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

[...]

Sometimes, however, one needs to weaken the assumption (1) slightly, as in the following.

Proposition 2. Suppose that

(3) for each $\begin{eqnarray*} z\in\mathfrak{Z} \end{eqnarray*}$ , the random object $\begin{eqnarray*} T(X,z) \end{eqnarray*}$ has distribution $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ and is independent of $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

Then (2) holds.

[...]

Proposition 2 has a deceptively easy "proof", which runs as follows:

$\begin{eqnarray*} T(X,z) \end{eqnarray*}$ has distribution $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ and is independent of $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , for all $\begin{eqnarray*} z\in\mathfrak{Z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Conditional distribution of $\begin{eqnarray*} T(X,z) \end{eqnarray*}$ , given $\begin{eqnarray*} Y=y \end{eqnarray*}$ , is $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , for all $\begin{eqnarray*} y\in\mathfrak{Y} \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} z\in\mathfrak{Z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Conditional distribution of $\begin{eqnarray*} T(X,Z(y)) \end{eqnarray*}$ , given $\begin{eqnarray*} Y=y \end{eqnarray*}$ , is $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , for all $\begin{eqnarray*} y\in\mathfrak{Y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Conditional distribution of $\begin{eqnarray*} T(X,Z(Y)) \end{eqnarray*}$ , given $\begin{eqnarray*} Y=y \end{eqnarray*}$ , is $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , for all $\begin{eqnarray*} y\in\mathfrak{Y} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} T(X,Z(Y)) \end{eqnarray*}$ has distribution $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ , and is independent of $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .

So, jetzt kommt der Teil, der mir nicht klar werden möchte:

Zitat:

Quelle wie oben
On close inspection, however, this argument breaks down. [...]
The major flaw in the above "proof" occurs in the first step, wherein the correct conclusion is that for each $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ the conditional distribution of $\begin{eqnarray*} T(X,z) \end{eqnarray*}$ given $\begin{eqnarray*} Y=y \end{eqnarray*}$ is $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ for $\begin{eqnarray*} PY^{-1} \end{eqnarray*}$ -almost all $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ; as the null sets here may depend on $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , the second step may not be permissable.

Diese Begründung, wieso obiger "Beweis" nicht korrekt ist, verstehe ich einfach auch nach hundertmaligem Durchlesen nicht! Könnte mir das jemand vielleicht erklären?

Meine Ideen:
Ich habe leider keine!

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