Auftrieb

21.06.2012, 02:37	Gavin	Auf diesen Beitrag antworten »
Auftrieb Hallo zusammen, ich habe eine Frage, ob ich einen Denkfehler in einer Formel (-umstellung) habe. Bei der Berechnung eine Auftriebskörpers gilt ja Auftriebskraft = Gewichtskraft. Nun habe ich folgende Formel: $\begin{eqnarray} F_{G}=F_{A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{G}=(m_{t}+m_{f})g \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m_{t} \end{eqnarray}$ ist bekannt. $\begin{eqnarray} m_{f}=(2\piR^2D+\piH(R+r)(R+r))\rho_{Stahl} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m_{f} \end{eqnarray}$ ist die Gesamtmasse des Auftriebskörpers. $\begin{eqnarray} F_{A}=\frac{3}{4}\piR^2H\rho_{Wasser}g \end{eqnarray}$ Der Körper soll zu 3/4 unter Wasser liegen, daher die 3/4. Bei gleichstellen ergibt sich: $\begin{eqnarray} F_{G}=F_{A}=m_{t}+(2\piR^2D+\piH(R+r)(R+r))\rho_{Stahl}g=\frac{3}{4}\piR^2H\rho_{Wasser}g \end{eqnarray}$ Jetzt meine Frage, für die Gewichtskraft ist H bezogen auf den Gesamten Körper. Bei der Auftriebskraft bezieht H sich nur auf die Länge unter Wasser. kann ich die Gleichung dennoch nach H hin umstellen um die Gesamtlänge H der Gewichtskraft zu erhalten? Oder mache ich da einen Denkfehler? Durch Integration der 3/4 sollte das doch gehen oder? Andernfalls hätte ich ja eine Gleichung mit 2 Unbekannten. Grüße Gavin
21.06.2012, 09:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deine Rechnung nicht nachvollziehen, da du nicht schreibst, um welchen Körper es geht. Wichtig ist folgendes: Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Wassers.
21.06.2012, 12:08	Gavin	Auf diesen Beitrag antworten »
Auftrieb Hallo Ehos, ja richtig, so habe ich die Formel ja auch ausgedrückt. Es handelt sich um einen zylindrischen Hohlkörper. Ursprünglich wollte ich versuchen, bei der Dimensionierung des Auftriebskörpers am Ende nur auf das benötigte Volumen zu kommen, aber da ich für den gleichen Körper bei der Rechnung 2 verschiedene Volumina habe (einmal als Massekörper und einmal als Auftriebskörper) konnte ich da nicht hinrechnen. Darum habe ich die ganze Rechnung vom Radius abhängig gemacht. Heißt, ich gebe jetzt einen Radius vor und kann dann die benötigte Länge berechnen. Vielleicht gibt es ja einen Weg, auf das Volumen zu kommen, um dann in einer Extremwertaufgabe auf den minimalsen Materialverbrauch zu kommen. Grüße von Gavin
22.06.2012, 10:02	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst nicht, welche Größe du eigentlich suchst - etwa die Eintauchtiefe? Bitte formuliere dein Anliegen eindeutig. Bin aber erst am Montag wieder im Netz. Hinweis: 2 volumengleiche Körper haben stets denselben Auftrieb, wenn ihre mittleren Dichten übereinstimmen. Es kommt also nur auf den Mittelwert der Dichten an - nicht auf die innere Struktur des Körpers. Z.B. haben eine luftgefüllte Tonne aus Stahlblech und einen volumengleichen Vollzylinder aus Kork denselben Auftrieb, wenn deren mittleren Dichten gleich sind. Wenn du die Eintauchtiefe deines Hohlzylinders berechnen willst (bei senkrechter Zylinderachse), bestimme das Gleichgewicht zwischen Zylindermasse m und der Masse des verdrängten Wassers. Es muss also gelten $\begin{eqnarray} \underbrace{m}_{\text{Masse des Zylinders}}=\underbrace{r^2\pi h\rho_{\text{Wasser}}}_{\text{Masse des verdrängten Wassers}} \end{eqnarray}$ h = Eintauchtiefe (nicht Zylinderhöhe) $\begin{eqnarray} \rho_{\text{Wasser}} \end{eqnarray}$ = Dichte der Flüssigkeit r = äußerer Radius des Zylinders Stelle die Formel nach der Eintauchtiefe h um! Der minimale Materialverbrauch ist natürlich dann gegeben, wenn die Masse des Hohlzylinders am geringsten ist - in deinem Falle also die Wandstärke.

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