Basis eines Unterraums / liegt Punkt p in Unterraum U

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LeiderAhnungslos Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Unterraums / liegt Punkt p in Unterraum U
Meine Frage:
Hallo,

ich weiß dass zu diesem Thema schon einige Fragen beantwortet wurden, leider wurde ich daraus nicht so recht schlau.

Ich sitze jetzt schon ewig an folgender Aufgabe:

Welche a.) Dimension hat der Unterraum U in R³ der von u= v= w= und x= erzeugt wird?
b.) Basis für U und c.) liegt p= in U? Falls ja schreiben Sie p als Linearkombination der Basis

Meine Ideen:
So, also ich habe erstmal die Matrix (A/p)= in Zeilenstufenform umgewandelt:
Daran kann ich nun a.) den Rang der Matrix und somit die Dimension des Unterraums U ablesen = 2
b.) und c.) bereiten mir aber echt Probleme...
Um die Basis zu bestimmen und zu wissen ob p in U liegt muss ich ja das Gleichungssystem lösen, oder? Das schaffe ich einfach nicht:
w-x-3y+3z=-5
x+2y- z= 3
Das geht doch garnicht zu lösen...
Ich hoffe mir kann jemand helfen, denn ich komme ienfach nicht weiter. Es muss wirklich nicht ins Detail erklärt sein, hauptsache ich bekomme irgendwie eine Basis raus. Irgendwo habe ich auch gelesen, dass man die Basisvektoren an der in Zeilenstufenform gebrachten Matrix ablesen kann? Und die Anzahl diese Basisvektoren ist dann auch die Dimension von U.

Also, ich freue mich auf eure (bitte leicht verständlichen) Antworten smile
DANKE!!!
LeiderAhnungslos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Unterraums / liegt Punkt p in Unterraum U
huch, das Gleichungssystem ist natürlich:
w-y+2z=-2
x+2y- z= 3
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine Zeilenstufenform ist falsch.
Wie schafftst du es denn in der 3.Zeile lauter Nuller stehen zu haben? (Das geht nämlich nicht.)
Wie du auf das Gleichungssystem kommst ist mir schleierhaft.


Und Matrizen sind u.A. eine einfache Möglichkeit Gleichungssysteme zu schreiben und zu lösen.
Daher ist das Aufstellen/Lösen von Gleichungssystemen eher verkomplizierend.
LeiderAhnungslos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.

Also ich habe ja (A/p)= , dann vertausche ich Zeile I und III, rechne Zeile II - 4*ZeileI und Zeile III-5*Zeile 1 und erhalte rechne dann Zeile I + Zeile II, und Zeile III - Zeile II und erhalte:


Ich hoffe das war verständlich??

Nur weiß ich nicht wie ich jetzt auf eine Basis komme?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Um auf die Basis zu kommen bist du damit schon zwei Schritte zu weit.
Du berechnest die c) und lässt die a) und die b) aus.

Was sagt der Rang der Matrix über die Dimension der Basis aus?
Danach beshäftigen wir uns mit der Basis.

Kleine Anmerkung:
-Variablen nicht mehrfach belegen. u,v,w,x hast du deine Vektoren bereits genannt, diese Buchstaben sollten in der Aufgabe nicht für anderes verwendet werden.
- Auf der Tastatur gibt's ein | (Alt Gr + <). Du bist aber nicht der einzige der das nicht weiß.
LeiderAhnungslos Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also für a.) nehme ich dann erstmal nur die Matrix A (ohne p) und forme in Zeilenstufenform um:


Daraus lese ich ja dann den Rang von A und somit die Dim von U ab = 2

Das sagt mir ja quasi schon, dass die Basis aus 2 Vektoren bestehen muss, oder?

zu b.) habe ich gelesen, dass man die Vektoren in die Zeilen der Matrix schreiben sollte, also:


wenn ich diese dann in ZSF bringer erhalte ich:
,

das sagt mir ja dann (nochmal), dass die Dimension von U = 2 und dass meine beiden Basisvektoren b1= und b2 = sind

Ist das jetzt richtig soweit?? ich hoffe doch sehrsmile
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das sagt mir ja quasi schon, dass die Basis aus 2 Vektoren bestehen muss, oder?

Streichen wir doch das quasi aus dem Satz.
zur b)
Was spricht denn dagegen zwei der vier Vektoren u,v,w,x als Basis zu wählen?
Aber ja, b1 und b2 bilden eine Basis. (sie sind lin.unabh. und erzeugen u,v,w,x)
(und wenn du die schon hast, damit wird die c) einfacher.)
LeiderAhnungslos Auf diesen Beitrag antworten »

ok das quasi wird gestrichen smile

puh, na immerhin ist das schonmal richtig was ich da fabriziert habe. um hereuszufinden ob 2 der Vektoren u,v,w,x eine Basis von u bilden, muss man ja irgendwie schauen, ob sie auch lin. unabhängig sind, ne?

also fehlt jetzt noch c.)
ich schreib mal was ich glaube:

p liegt in U, wenn das r* +s* =

wenn ich dann für r= -4 und s= 1 einsetzte erhalte ich:

+ =
was anscheinend richtig ist, somit liegt p in U.

Damit habe ich p ja auch gleich als Linearkombination der 2 Basisvektoren beschrieben...
Eigentlich ist die Aufgabe ja dann damit erledigt, ne?! smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
um hereuszufinden ob 2 der Vektoren u,v,w,x eine Basis von u bilden, muss man ja irgendwie schauen, ob sie auch lin. unabhängig sind, ne?

Das ist richtig, bei 2 Vektoren aber auch nicht so schwer:
2 Vektoren sind lin. abh. wenn der Eine skalares Vielfaches des Anderen ist.

Und der Rest stimmt.
LeiderAhnungslos Auf diesen Beitrag antworten »

oh super, ich danke dir vielmals!!

hab irgendwie ewig an dieser Aufgabe gesessen...weil in unserem Skript alles so unverständlich stand. Hätte das nie hinbekommen...

Also Danke nochmals, hast mir sehr geholfen "Captain Kirk", dann wünsch ich noch einen schönen Tag!!!
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