Erwartungswert und Varianz

21.06.2012, 13:13	ryu15	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz Aloha, hab da ne Aufgabe zu Erwartungswert und Varianz und bin mir nicht sicher ob ichs richtig gerechnet habe. Und zwar gehts um folgendes Problem: Zu der Zufallsvariable X sei folgende Dichtefunktion bekannt: $\begin{eqnarray} f(x)= 12x^2(1-x), 0< x \leq 1 \end{eqnarray}$ , sonst $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ Berechne Erwartungswert und Varianz von X Meine Lösung: für den erwartungswert benutze ich die formel $\begin{eqnarray} E(X)=\int_\infty^\infty \! xf(x) \, dx \end{eqnarray}$ und hab $\begin{eqnarray} E(X)=\int_0^1 \! x12x^2(1-x) \, dx \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} 12[-\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4}x^4]=\frac{1}{20} \end{eqnarray}$ Für dia Varianz hab ich folgende formel gefunden $\begin{eqnarray} V(x)=\int_\infty^\infty \! (x-\lambda)^2f(x) \, dx \end{eqnarray}$ wobei ich mir nicht sicher bin ob das $\begin{eqnarray} \lambda=E(X) \end{eqnarray}$ ist (laut wikipedia ist das so und dann bekomme ich für die varianz -0,58 als ergebnis) danke für jede hilfe schonma
21.06.2012, 13:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den $\begin{eqnarray} \frac{1}{20} \end{eqnarray}$ hast du einfach mal den wichtigen Vorfaktor $\begin{eqnarray} 12 \end{eqnarray}$ unter den Tisch fallen lassen. Zur Varianz: Deutlich entspannter geht es oft zu, wenn man die alternative Varianzformel $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray}$ verwendet, im Fall stetiger Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ dann mit $\begin{eqnarray} E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ .
22.06.2012, 11:40	ryu15	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, also bekomme ich für den erwartungswert $\begin{eqnarray} \frac{12}{20} \end{eqnarray}$ und als $\begin{eqnarray} var(X)=\frac{2}{5}-\frac{9}{25}=\frac{1}{25} \end{eqnarray}$

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