Verteilungsfunktion von Summe von Zufallsvariablen

Neue Frage »

Schlosstrunk Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion von Summe von Zufallsvariablen
Meine Frage:
Hi,

Ich möchte die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable berechnen.

Die sind unabhängige, diskrete reelle Zufallsvariablen. Genauer kann jedes nur zwei verschiedene Werte annehmen. Allerdings sind diese möglichen Ausgänge für jedes unterschiedlich, genauso wie die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Realisierungen.



Meine Ideen:
Da die verschieden sind, kann ich keine Binomial- oder geometrische Verteilung verwenden und weil i sehr groß sein kann, ist es nicht möglich, alle möglichen Kombinationen der Ausgänge zu berechnen.

Google hat mir leider nicht weitergeholfen, somit wäre ich über jede Idee sehr dankbar!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schlosstrunk
ist es nicht möglich, alle möglichen Kombinationen der Ausgänge zu berechnen.

"Nicht möglich" kann nicht sein. Aber wenn es in der Tat sehr viele Kombinationen sind, in welcher Form erwartest du dann die Angabe der Verteilungsfunktion?

Mit deinen sehr allgemeinen Angaben kann man eh nur sagen, dass die Summe ebenfalls eine diskrete Zufallsgröße ist, mit - je nach den möglichen Werten der Einzelzufallsgrößen - maximal Ausprägungen.
Schlosstrunk Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die rasche Antwort, Hal 9000.

Du hast natürlich recht, dass man es theoretisch berechnen kann. Die Anzahl der kann aber in die mehreren Tausende gehen, sodass verdammt hoch ist und ich kein Programm kenne, das meine Berechnung in akzeptabler Zeit zu beendet.


Um meine Angaben zu spezifizieren:

Ich benötige die Verteilungsfunktion nicht in expliziter Form. Ich möchte eigentlich nur die Wahrscheinlichkeit wissen, dass ist, wobei eine gegebene Konstante ist.
Alternativ wäre es auch ausreichend eine Konstante zu berechnen, die S mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit übersteigt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt den zentralen Grenzwertsatz.

gilt , dann ist für grosse n
S unter sehr schwachen Bedingungen nahezu normalverteilt mit



mit

edit---------------------
habe deine Post noch nicht gelesen, scheint aber trotzdem genau zu passen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schlosstrunk
Die Anzahl der kann aber in die mehreren Tausende gehen

Für diese große Anzahl ist in der Tat der Vorschlag von Dopap noch die beste Option, es ermöglicht zumindest die näherungsweise Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten. Liegen die Verteilungen alle zumindest etwa in derselben Größenordung, dann müsste diese Approximation von der Genauigkeit her auch völlig ausreichend sein. Freude


Was bei extremen Unterschieden passieren kann, demonstriert folgendes kleines Beispiel:

Wenn für ist, dann ist

für alle ,

d.h. man hat eine diskrete Gleichverteilung auf , was also auch für große nichts mit einer Normalverteilung zu tun hat. Augenzwinkern
Schlosstrunk Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dopap für den Vorschlag.

Ich vermute, dass es im Großteil der Fälle mit dem zentralen Grenzwertsatz funktionieren müsste. In meinen Daten können aber garantiert auch Fälle auftreten, wo es nicht mit der Normalverteilung funktioniert (wie von Hal 9000 demonstriert). Zum Beispiel könnte es vorkommen, dass die Standardabweichung einer Zufallsvariable 100 Mal höher ist als die der anderen, sodass die Dichtefunktion wie zwei Glockenkurven (mit großem Abstand dazwischen) aussehen müsste.

Gibt es für diesen Fall ein Kriterium mit welchem ich zuerst überprüfen könnte, ob die Zufallsvariablen "hinreichend ähnlich" verteilt sind, um den zentralen Grenzwertsatz anweden zu können?

Das Kriterium könnte dann entscheiden, ob ich die elegante Variante wählen kann oder auf eine Monte-Carlo Simulation zurückgreifen muss.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht das hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Berry%E2%80...ibuted_summands

Aber frag mich bitte nicht zu Details, ich kenne das nicht wirklich.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »