Jacobi-Abbildung, Nachweis des Diffeomorphismus

21.06.2012, 14:29	Leviathanz0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi-Abbildung, Nachweis des Diffeomorphismus Hallo Community :3 Ich habe gerade etwas Verständnisprobleme bei einer Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} F: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ die sogenannte Jacobi-Abbildung, definiert durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix} = F(x,y) = \begin{pmatrix} x(1-y)\\xy\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: F bildet das Einheitsquadrat $\begin{eqnarray} Q:=(0,1)\times(0,1) \end{eqnarray}$ diffeomorph auf das Simplex $\begin{eqnarray} S:=\left \{(u,v)\in \mathbb{R}^2: u, v > 0 , u+v <1\right \} \end{eqnarray}$ ab. Ich möchte nicht gleich von vornerein falsch anfangen, von daher: Habe ich das richtig Verstanden, dass ich zeigen soll, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} F: Q \to S \end{eqnarray}$ diffeomorph ist?
21.06.2012, 19:36	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
25.06.2012, 21:58	Leviathanz0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendes: Ich würde wenn es recht ist meinen Lösungsweg hier reinstellen und je nach Möglichkeit könnte jemand zwecks Unstimmigkeiten/groben Fehlern mal drüberschauen (: 1. Bijektivität der Funktion 1.1 Surjektivität: $\begin{eqnarray} u = x-xy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < y < 1 \Rightarrow 0 < xy < x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 0 < x - xy < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = xy \wedge 0 < x,y < 1 \Rightarrow 0 < v < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u + v = x-xy+xy = x, 0 < x < 1 \Rightarrow u + v < 1 \end{eqnarray}$ - beide "Bedingungen" der Menge S mit den Eigenschaften der Menge Q in Verbindung mit der Funktion F(x,y) bestätigt -> F bildet Q surjektiv auf S ab 1.2 Injektivität $\begin{eqnarray} u(x,y)=x-xy \end{eqnarray}$ Sei x beliebig fixiert. Dann ist u(x,y) eine Gerade mit dem Anstieg $\begin{eqnarray} 0 \neq -x \neq \infty \end{eqnarray}$ -> injektive Abbildung einer Geraden. Für beliebig fixiertes y analog als Gerade mit dem Anstieg $\begin{eqnarray} 0 \neq (1-y) \neq \infty \end{eqnarray}$ Analog für $\begin{eqnarray} v(x,y)=xy \end{eqnarray}$ mit Gerade mit den Anstiegen $\begin{eqnarray} x, y \in (0,1) \end{eqnarray}$ -> Surjektivität + Injektivität = Bijektivität 2. Stetige Differenzierbarkeit der Funktion und der Umkehrfunktion Hier habe ich alle vier Ableitungen mit der h-Methode errechnet (ob das nun wirklich notwendig ist weiß ich nicht, zumindest existieren die Ableitungen damit eindeutig an jeder Stelle). Jacobi-Matrix: $\begin{eqnarray} F'(x,y)= \begin{pmatrix} 1-y & -x\\ x & y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} x,y \in (0,1) \end{eqnarray}$ existieren alle Ableitungen. Die Stetigkeit folgt schlichtweg aus der äußeren Form, muss ich da noch großartig etwas beweisen? Damit wäre F(x,y) differenzierbar und alle Ableitungen stetig. Daraus folgt ja die stetige Differenzierbarkeit und hieraus, dass auf F stetig ist. Gleichzeitig gilt $\begin{eqnarray} \left \| F'(x,y) \right \|\neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ F'(x,y) ist invertierbar. Da F und F' stetig sind und gilt/gelten muss, dass $\begin{eqnarray} g = f^{-1}, g'(f(x))\cdot f'(x)=E_n \end{eqnarray}$ (ich nehme an, dass E_n die Einheitsmatrix n-ten Gerades, in diesem Fall zweiten Grades ist) folgt doch, dass g' auch stetig sein muss, oder? Wäre damit im Endeffekt der Diffeomorphismus gezeigt? Ich wüsste auch nicht genau wie ich z.B. die Umkehrfunktion von F konkret berechnen soll beziehungsweise endeten meine Versuche in nicht allzu sinnvollen Formel-Gebilden. Schon einmal vielen Dank im Voraus an diejenigen/denjenigen/diejenige, der/die sich kurz Zeit nimmt/nehmen. (:
26.06.2012, 16:25	Leviathanz0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt noch einmal versucht die inverse Funktion zu errechnen, aber da kam wieder nichts allzu sinnvolles dabei raus. Könnte jemand bitte einen Kommentar zu meinem Lösungsweg abgeben? :<

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