Wurzel2

21.06.2012, 17:40

Elian

Herleitung cos(pi/4)=1/Wurzel2

Hallo,

bei pi/4 ist sin=cos=(sqrt2)/2=1/(sqrt2)
der Taschenrechner sagt irgendwas mit 0,707... was genau diese (sqrt2)/2 sind.

Wie komme ich ohne Taschenrechner zu Fuß dorthin?
Ich habe es mit dem Einheitskreis versucht, mit pythagoras etc. aber irgendwie stehe ich im Wald, und zwar auch noch ausgerechnet in dem Wald, den man vor lauter Bäumen nicht sieht.

21.06.2012, 17:56

carm561

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RE: Herleitung cos(pi/4)=1/Wurzel2
wenn $\begin{eqnarray*} \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4) \end{eqnarray*}$ , dann liefert Pythagoras doch $\begin{eqnarray*} 1=2\sin^2(\pi/4) \end{eqnarray*}$ verwirrt

Oder geht es darum, disee Gleichheit zu zeigen? Da hilft der Taschenrechner aber ohnehin nicht Augenzwinkern

21.06.2012, 18:13

riwe

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RE: Herleitung cos(pi/4)=1/Wurzel2
male dir ein quadrat auf und die diagonale

21.06.2012, 18:15

Elian

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RE: Herleitung cos(pi/4)=1/Wurzel2
Ich wollte ja nur wissen, wie man ohne Rechner und Tabellen, mit reiner Mathematik, von
$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$
auf die Hypotenuse
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt {2}} \end{eqnarray*}$ kommt.

edit:
gleichung mit einer seite $\begin{eqnarray*} \sqrt {2a^2} \end{eqnarray*}$ und der anderen seite $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} a=\frac {1}{4} \end{eqnarray*}$ was dem $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ sehr ähnelt.

21.06.2012, 18:38

carm561

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RE: Herleitung cos(pi/4)=1/Wurzel2
Wieso die Hypothenuse? verwirrt

Am Einheitskreis sind üblicherweise $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ die Katheten, die Hypothenuse hat die Länge 1.
Pythagoras liefert dann die Beziehung $\begin{eqnarray*} 1=\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) \end{eqnarray*}$

Edit: Frag mal wikipedia nach dem Einheitskreis. Da gibt's eine nette animierte Grafik, die vielleicht hilft.

21.06.2012, 18:43

riwe

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RE: Herleitung cos(pi/4)=1/Wurzel2

Zitat:

Original von Elian
Ich wollte ja nur wissen, wie man ohne Rechner und Tabellen, mit reiner Mathematik, von
$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$
auf die Hypotenuse
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt {2}} \end{eqnarray*}$ kommt.

edit:
gleichung mit einer seite $\begin{eqnarray*} \sqrt {2a^2} \end{eqnarray*}$ und der anderen seite $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} a=\frac {1}{4} \end{eqnarray*}$ was dem $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ sehr ähnelt.

sagte ich ja:
mit einem halben quadrat der seitenlänge 1 hast du die diagonale = hypothenuse mit pythagoras

$\begin{eqnarray*} d^2=1^2+1^2=2\to d=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} sin45°=cos45°=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

21.06.2012, 18:45

carm561

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RE: Herleitung cos(pi/4)=1/Wurzel2
ich bin dann mal weg Wink

22.06.2012, 17:44

Elian

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Entschuldigt bitte, dass ich euch so einen Kummer bereite. Ich glaube aber, jetzt habe ich es verstanden.
Ist folgendes vollständig, mathematisch einwandfrei und präsentabel?

Am Einheitskreis erkennt man:

$\begin{eqnarray*} \varphi = 45° \widehat {=} \frac{\pi}{4} \Rightarrow cos(\varphi) = sin(\varphi). \end{eqnarray*}$
Mit r: Radius am Einheitskreis = Hypothenuse folgt:
$\begin{eqnarray*} r^2=cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi). \end{eqnarray*}$
Normiere $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ auf 1 (Kanonischer Einheitsvektor):
$\begin{eqnarray*} 1^2= cos^2(\varphi)+ sin^2(\varphi). \end{eqnarray*}$
Mit der gegebenen Bedingung für $\begin{eqnarray*} \varphi=\frac{\pi}{4}\Rightarrow cos(\frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1^2= 2*cos^2(\frac{\pi}{4}) \quad |\sqrt{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1=\sqrt{2} * cos(\frac{\pi}{4}) \quad | :\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {1}{\sqrt{2}} = cos(\frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Was mir schon immer auf den Keks geht, was ich einfach nicht in den Kopf bekomme aber langsam verstehe.

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ entspricht nur deswegen nur einem Halbkreis, also der halben Periode, da der Radius [r] am Einheitskreis auf 1 normiert ist. Damit ist der Durchmesser [d] des Kreises 2*r und der Umfang [U] des vollen Kreises $\begin{eqnarray*} U=2*r*\pi=d*\pi \end{eqnarray*}$ . Das verstehe ich jetzt und nehme es hin anstatt mathematische Dogmen hierzu zu hinterfragen.

22.06.2012, 18:04

carm561

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Ob man am Einheitskreis durch bloßes Hinschauen erkennt, dass $\begin{eqnarray*} \cos(\pi/4)=\sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$ gilt, sei mal dahin gestellt. Benutze doch die Beziehung $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) \end{eqnarray*}$ dafür.
@riwe: Du hast in einem Thread ein Bild eingefügt, an dem man das wunderbar sieht, aber ich finde den Thread nicht mehr. Kannst du helfen?

Der Radius des Einheitskreises ist 1, da brauchst du überhaupt nichts zu normieren.

Edit: Nach Definition ist doch $\begin{eqnarray*} \pi=\frac{U}{d} \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ ist dann in der Tat $\begin{eqnarray*} \pi=\frac{U}{d}=\frac{U/2}{d/2}=\frac{U/2}{r}=U/2 \end{eqnarray*}$
Meinst du das?

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