bestimmen Funktionsgrenzwert

21.06.2012, 19:04	King_Jigga	Auf diesen Beitrag antworten »
bestimmen Funktionsgrenzwert hey leute ich komm einfach nicht weiter... $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} \frac{arcsin(2-x)}{\sqrt{x^2-3x+2} } \end{eqnarray}$ ich hab l`hospital gemacht... $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x^2+4x+3}} /(\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+2} } <br /> \end{eqnarray}$ dann umgeformt und nun komm ich nicht mehr weiter.. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} \frac{2\sqrt{x^2-3x+2} }{\sqrt{-x^2+4x+3 (2x-3)} } \end{eqnarray}$
21.06.2012, 20:02	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo King_Jigga, die Regel von L'Hospital ist hier in der Tat zielführend. Allerdings hast du dich bei $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \arcsin(2-x) \end{eqnarray}$ vertan. Es gilt nämlich $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \arcsin(2-x)=\frac{1}{\sqrt{1-(2-x)^2}} \cdot (-1)=-\frac{1}{\sqrt{-x^2+4x-3}} \end{eqnarray}$ Mit der Regel von L'Hospital hast du also insgesamt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} \frac{\arcsin(2-x)}{\sqrt{x^2-3x+2}}=\lim_{x \to 2} \frac{-\frac{1}{\sqrt{-x^2+4x-3}}}{\frac{2x-3}{2 \sqrt{x^2-3x+2}}}=\lim_{x \to 2} \frac{-2\sqrt{x^2-3x+2}}{\sqrt{-x^2+4x-3}\cdot(2x-3)} \end{eqnarray}$ Den letzten Grenzwert kannst du nun ohne weiteres bestimmen, indem du einfach $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ einsetzen tust. Was erhältst du dann schließlich als Ergebnis? Viele Grüße, Shipwater
21.06.2012, 20:20	King_Jigga	Auf diesen Beitrag antworten »
ja da hab ich wohl das Minus zeichen vergessen. durch einsetzen ehalte ich dann $\begin{eqnarray} \frac{-2\sqrt{0} }{\sqrt{7} (-1)}=0 \end{eqnarray}$ ok also das ergebnis müste 0 sein. aber woher weiss ich denn das ich jetzt die limus 2 einsetzen muss und nicht weiter umformen oder ableiten muss. ich weiss halt nie so richtig wann ende ist
21.06.2012, 20:34	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Ergebnis null ist zwar richtig, aber das was bei dir davor steht kann ich nicht nachvollziehen. Das sollte eher $\begin{eqnarray} \frac{-2 \cdot 0}{\sqrt{1} \cdot 1}=0 \end{eqnarray}$ heißen. Du hast im Nenner wohl wieder $\begin{eqnarray} \sqrt{-x^2+4x+3} \end{eqnarray}$ verwendet, obwohl es korrekterweise $\begin{eqnarray} \sqrt{-x^2+4x-3} \end{eqnarray}$ heißen muss. Dann zu deiner anderen Frage: Also die Regel von L'Hospital kommt ja generell erstmal nur dann in Frage, wenn Zähler und Nenner jeweils gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bzw. jeweils gegen $\begin{eqnarray} \pm \infty \end{eqnarray}$ gehen. Das ist bei $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 2} \frac{-2\sqrt{x^2-3x+2}}{\sqrt{-x^2+4x-3}\cdot(2x-3)} \end{eqnarray}$ nun einfach nicht mehr der Fall, denn der Zähler geht zwar immer noch gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ aber der Nenner dafür gegen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Damit ist aber auch schon klar, dass $\begin{eqnarray} \frac{0}{1}=0 \end{eqnarray}$ der Grenzwert sein muss. Viele Grüße, Shipwater
21.06.2012, 20:42	King_Jigga	Auf diesen Beitrag antworten »
ook danke nochmals, hab wieder falsch eingesetzt. aber jetzt ist es mir klar
21.06.2012, 20:50	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich wünsche dir viel Erfolg weiterhin. Viele Grüße, Shipwater
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21.06.2012, 21:11	King_Jigga	Auf diesen Beitrag antworten »
Neue Aufgabe mit 2 Lösungswegen gesucht ich hab nochmal eine AUFGABE wo ich nicht weiter komm $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } (ln(1+x)-lnx) \end{eqnarray}$ ich hab es so gelöst $\begin{eqnarray} ln (\lim_{x \to \infty } (1+\frac{1}{x} ) \end{eqnarray}$ ergebniss ist dann ln1=0 mein Lehrer meinte ich soll es mit dem Mittelwertsatz auch probieren aber ich weiss nicht wie ich einsetzen soll usw. $\begin{eqnarray} f`(x_{0})= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray}$
21.06.2012, 22:47	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} (\ln(1+x)-\ln(x))=0 \end{eqnarray}$ ist richtig. Edit: Hatte den unteren Teil überlesen. Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kannst du für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \ln(1+x)-\ln(x)<\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ herleiten. Wende diesen dafür auf die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=ln(x) \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} (x,1+x) \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} (\mbox{wobei } x>0) \end{eqnarray}$ Viele Grüße, Shipwater

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