f,g genau dann orthogonal wenn |f+sg|>=|f| |
21.06.2012, 21:25 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f,g genau dann orthogonal wenn |f+sg|>=|f| Bräuchte Rat bei der Aufgabe: Also die Aufgabenstellung habe ich soweit verstanden; das "genau dann" schreit doch geradezu nach einem Beweis mit 2 Richtungen: "=>" und "<=". Für => kann ich jetzt annehmen, dass (f.g)=0 ist. Allerdings habe ich jetzt keinen Ansatz, wie ich das ganze zu einer Ungleichung führen kann bzw. wie ich das umgekehrt von "<=" wieder in (f.g)=0 verwandle. Wäre für einen Tipp sehr dankbar! Vielen Dank schonmal |
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21.06.2012, 21:43 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kann ich denn eine Norm auf das Skalarprodukt zurückführen, von dem sie erzeugt wird? |
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21.06.2012, 22:06 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Von der induzierten Norm, also . Eventuell kann man da die CSU verwenden? |
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21.06.2012, 23:06 | Cordovan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann versuch doch jetzt mal, die Richtung zu zeigen, mit der du schon angefangen hast. Was ist denn dann , wenn man mal das Skalarprodukt nimmt, um die Norm darzustellen? |
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21.06.2012, 23:35 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo SilverShadow, Du könntest für den Anfang einfach ein Beispiel untersuchen. Nimm z.B. als R-Vektorraum den R^2. Dann sind f und g zweidimensionale Vektoren und s ist eine reelle Zahl. Damit kannst Du Dir die Ungleichung geometrisch veranschaulichen. Das gibt dann eine gewisse Sicherheit und Motivation den Beweis aufzuschreiben. |
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22.06.2012, 10:36 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also für wäre das Dann dürfte ich doch die Wurzel auch weglassen? Warum eigentlich das Quadrat? Das s kann man ja leider nicht aus der Norm rausziehen denke ich. ----- Habs mal für den R2 gemacht, ja das ergibt Sinn; jetzt kann mans sich besser vorstellen |
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22.06.2012, 11:41 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Preisfrage": Wie groß ist 2fsg gemäß Voraussetzung? |
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22.06.2012, 13:44 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, natürlich 0.. Also hätte ich nur noch Da mein s & g ja durchs quadrieren positiv sein muss, gilt nun logischerweise oder nicht? |
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22.06.2012, 20:18 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Autsch... Nein, hier lohnt eher ein Blick auf das, was man eigentlich beweisen will: Haben wir damit die eine Richtung nicht schon bewiesen? (Tip: Welche Eigenschaft hat denn ?) |
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22.06.2012, 20:28 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte es mir schon fast, typischer Deppenfehler; habs jetzt auch gesehen ja ist immer positiv oder gleich 0, und damit addiert man dann zu immer etwas nicht negatives, womit die Ungleichung bewiesen wäre. Für die andere Richtung müsste ich jetzt irgendwie auf (f.g)=0 kommen, dazu kann man die Ungleichung denke ich wie vorhin wieder mit Skalarprodukt umformen. Die Ungleichung wird nur gelten, wenn (f.g)=0 ist. Aber irgendwie sehe ich das gerade nicht. |
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22.06.2012, 20:50 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man sollte hier die Formalitäten nicht zu sehr vergessen, d.h.: Für g=0 folgt trivial (f,g)=0. Die anderen Fälle für f und g (für die es ja voerst keine Einschränkungen gibt) muss man sich dann noch genauer ansehen. |
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22.06.2012, 20:57 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
? Es gilt doch ? |
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22.06.2012, 20:59 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe das Skript-R als LaTeX-Symbol nicht gefunden. Sorry. |
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22.06.2012, 21:23 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schmarrn! V natürlich. Die Rückrichtung ist rein formal deutlich schwieriger. Ich weiß momentan gar nicht, ob ich das selbst hinbekomme . |
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22.06.2012, 21:42 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welche Rückrichtung meinst du? "=>" haben wir schon gezeigt, es fehlt also nur noch "<=" ist ja immer nichtnegativ, d. h. es geht Konform mit der Ungleichung (weil der Term addiert wird). Wenn s allerdings negativ gewählt wird (und das ist ja möglich) muss für (f.g)=0 ergeben, weil die Ungleichung sonst nicht erfüllt wäre. Und da wir ja für alle diese Eigenschaft fordern, muss (f.g)=0 gelten. |
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22.06.2012, 22:52 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit Rückrichtung meinte ich "<=". Ich habe jetzt noch einen etwas eleganteren Beweis für diese Richtung gefunden: mit p:= (f.g) ist die Funktion 2s(f.g) + s²g² eine nach oben offene Parabel mit den Nullstellen 0 und -2p/g². Weil die Parabel nach oben offen ist, sind die Funktionswerte der Parabel zwischen den zwei Nullstellen negativ, was die Ungleichung verletzen würde. Damit die Ungleichung trotzdem gilt, muss der Bereich zwischen den zwei Nullstellen gleich Null sein und das geht nur mit p=(f.g)=0. q.e.d Der entscheidende Hinweis war . |
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22.06.2012, 22:57 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, das ist wirklich elegant Trotzdem eine kurze Frage: Wäre meine Lösung auch richtig gewesen? |
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22.06.2012, 23:28 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht ganz, weil für s=-1, (f,g)=-2 und g²=1 ein Gegenbeispiel existiert. D.h. die von Dir angegebene Bedingung ist zwar erfüllt, aber es folgt daraus nicht (f.g)=0. Du bist vermutlich implizit davon ausgegangen, dass das Skalarprodukt immer negativ ist. Das ist im Allgemeinen aber nicht der Fall. Gruß |
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22.06.2012, 23:36 | SilverShadow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau anders rum, ich habe nicht miteinbezogen, dass (f.g) negativ sein kann Aber so haben wirs ja jetzt auch. Dann bedanke ich mich sehr herzlich für die tolle Hilfe! |
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22.06.2012, 23:46 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gerne geschehen |
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