Polardarstellung

29.01.2007, 17:45

donvito

Polardarstellung

Hallöchen, könnt ihr mir mal bitte zwei klitzekleine Fragen beantworten:

1. Wie kann man eine Polardarstellung zeichnen? Geht das einfach so wie bei einer normalen Funktion? Habe hier die Polardarstellung
$\begin{eqnarray*} r^2 = 4 \cdot cos^2(\phi) - 2 \end{eqnarray*}$

2. Eine Kurve im R² ist durch die Polardarstellung $\begin{eqnarray*} r^2 = 2 \cdot cos(2 \phi) \end{eqnarray*}$
a) Berechnen Sie die Fläche, welche von der Schleife berandet wird
b) Zeigen Sie: Für jeden Punkt auf der Kurve ist das Produkt der Abstände zu den Punkte (1,0) und (-1, 0) (kartesische Koordinaten) genau 1.

Mich interessiert erstmal vorallem die a) und Frage 1. Ich finde nämlich keine Formeln dazu

29.01.2007, 18:58

Abakus

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RE: Polardarstellung

Zitat:

Original von donvito
1. Wie kann man eine Polardarstellung zeichnen? Geht das einfach so wie bei einer normalen Funktion? Habe hier die Polardarstellung
$\begin{eqnarray*} r^2 = 4 \cdot cos^2(\phi) - 2 \end{eqnarray*}$

Wenn du den Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ einsetzt, kriegst du als Funktionswert den Abstand vom Ursprung (die Wurzel musst du natürlich auch noch ziehen bei deiner Formel). Es ist also anders als bei kartesischen Koordinaten, wo du x und y hast.

Zitat:

2. Eine Kurve im R² ist durch die Polardarstellung $\begin{eqnarray*} r^2 = 2 \cdot cos(2 \phi) \end{eqnarray*}$
a) Berechnen Sie die Fläche, welche von der Schleife berandet wird
b) Zeigen Sie: Für jeden Punkt auf der Kurve ist das Produkt der Abstände zu den Punkte (1,0) und (-1, 0) (kartesische Koordinaten) genau 1.

Hier würde ich zunächst überlegen, wie diese Schleife genau aussieht.

Ansonsten: welche Flächen-/Integralformeln hattet ihr denn ?

Grüße Abakus smile

29.01.2007, 19:09

donvito

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Ok, das war schonmal ne große Hilfe, doch woher weiß ich nun in welche Richtung, wenn r der Abstand vom Ursprung ist? Ich weiß ja weder den Quadranten noch den genauen Winkel unter welchem ich dann den Punkt zeichnen soll.

Gibts irgendwo ne Freeware, die das kann?

29.01.2007, 19:50

Abakus

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Wenn du den Winkel als Argument einsetzt, weißt du natürlich den genauen Winkel.

Und ein paar (kritische) Punkte lassen sich schon ausrechnen.

Grüße Abakus smile

PS: ein Programm dazu kenne ich nicht, ist aber auch nicht nötig

30.01.2007, 16:20

donvito

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Da sind aber jede Menge Definitionslücken. Was mache ich damit?

30.01.2007, 16:58

Abakus

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Zitat:

Original von donvito
Da sind aber jede Menge Definitionslücken. Was mache ich damit?

Wo denn ? Kannst du Beispiele geben, was du meinst ?

Grüße Abakus smile

30.01.2007, 17:06

donvito

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Ja ich habe mir jetzt mal die Wertetabelle von $\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \cdot cos^2(\phi)-2} \end{eqnarray*}$
gemacht und das Ding hat abartig viele Definitionslücken, kann do nicht stimmen. Habe sicher was falsch verstanden...

30.01.2007, 17:18

Abakus

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Wenn du bei 0 anfängst, hast du $\begin{eqnarray*} r(0) = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du den Winkel zumindest solange größer machen, wie der Term unter der Wurzel nichtnegativ bleibt. Bis wohin wäre das ?

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

30.01.2007, 17:28

donvito

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Das wäre genau bis 1 dort ist schon die nächste Lücke. Kann doch irgendwie nicht sein, oder?

30.01.2007, 17:38

Abakus

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Zitat:

Original von donvito
Das wäre genau bis 1 dort ist schon die nächste Lücke. Kann doch irgendwie nicht sein, oder?

Dein Ansatz ist:

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \cos^2 \varphi - 2 \ge 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt rechne aus, wie weit du von 0 aus mit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gehen kannst.

Grüße Abakus smile

30.01.2007, 17:51

donvito

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Bis pi/4 = 0,78 Habe keinen Taschenrechner da :-)

Das Problem ist ja, dass die cos-Funktion immer abwechselns positiv und negativ ist. die Wurzel darf aber nicht negativ sein. Also kann ich das Ding eigentlich nur im Bereicht von 0 bis 0,78 zeichnen, das ist aber quatsch, denn so einen kleinen Winkel kann man ja kaum darstellen.

Was mache ich nu?

30.01.2007, 18:00

Abakus

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$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ sind immerhin 45°. Aus Symmetrieüberlegungen kommst du damit auf einen Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \end{eqnarray*}$ .

Das ist erstmal das "Spielfeld", auf dem die Kurve zu untersuchen ist.

Grüße Abakus smile

30.01.2007, 18:05

donvito

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Danke, damit wäre ich erstmal bedient Tanzen

Habe nicht gewußt, dass des 45° sind Hammer

30.01.2007, 18:30

donvito

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Oki, habe jetzt die Form, komischerweise genau die selbe wie bei der 2. Aufgabe. Ist kein Halbkreis sondern an läuft spitz zu. Hat was von einer Speerspitze :-) Nu meine 2. Frage: Wie berechne ich die zugehörige Fläche?

30.01.2007, 19:56

Abakus

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Zitat:

Original von donvito
Oki, habe jetzt die Form, komischerweise genau die selbe wie bei der 2. Aufgabe.

Beides kannst du mit einem Additionstheorem ineinander überführen. Beim Vergleich musst du noch genau schauen, wie dann beide Schleifen der Figur zustande kommen.

Zitat:

Ist kein Halbkreis sondern an läuft spitz zu. Hat was von einer Speerspitze :-) Nu meine 2. Frage: Wie berechne ich die zugehörige Fläche?

Mit Cavalieris Prinzip hast du einen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} F = \int_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} r(\varphi) ~\dd \varphi \end{eqnarray*}$

Das wäre dann die Hälfte der Fläche der gesamten Schleife bzw. die Fläche der Schleife in der rechten Halbebene.

Grüße Abakus smile

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