verallgemeinertes Vektorprodukt Beweis

22.06.2012, 13:52

Robert_neu

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verallgemeinertes Vektorprodukt Beweis

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu Beweisen:

$\begin{eqnarray*} u = (u1, u2, u3, u4), v = (v1, v2, v3, v4),w = (w1,w2,w3,w4) \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u\times v\times w \end{eqnarray*}$ ist definiert als:

$\begin{eqnarray*} u\times v\times w = det\begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 & e_4\\ u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ v_1 & v_2 & v_3 &v_4 \\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
wobei {e1, e2, e3, e4} die kanonische Basis des R4 ist.

Nun muss ich folgendes Zeigen:
a)Produkt ist linear in u, v,w.
b)Es ist $\begin{eqnarray*} u\times v\times w = o \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn u, v,w linear abhängig.
c)Es gilt $\begin{eqnarray*} <u\times v\times w, u> = 0 \end{eqnarray*}$ .
d) $\begin{eqnarray*} u\times v\times w = -v\times u\times w \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Will ich jetzt c Beweisen
dann gilt $\begin{eqnarray*} <u\times v\times w, u> = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_4-u_4v_3 \\ u_4v_1-u_1v_4 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4\end{pmatrix} , u> \end{eqnarray*}$

Das ist aber $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

wo liegt da der Fehler?

22.06.2012, 15:18

Leopold

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In der Absicht, es dir möglichst einfach zu machen, hast du die Definition des Vektorproduktes arg entstellt. Du darfst hier auch keineswegs assoziativ rechnen, denn es gibt kein Vektorprodukt für zwei Faktoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ . Es ist nur für drei Faktoren definiert. Das ist ein bißchen gewöhnungbedürftig und steht einer naiven Herangehensweise von vorneherein im Wege. Wie du auf den Term für das nichtexistente $\begin{eqnarray*} \vec{u} \times \vec{v} \end{eqnarray*}$ kommst, ist mir schleierhaft. Vermutlich hast du da eine Analogiebildung zum bekannten Vektorprodukt im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ vorgenommen. Das ist herrlich fabuliert, aber gänzlich falsch.

Also von vorne. Da es hier wichtig ist, zwischen Vektoren und Skalaren zu unterscheiden, schreibe ich die Vektoren konsequent mit einem Pfeil. Unbepfeilte Variable sind reelle Zahlen. Ich verwende wie in deiner Aufgabe für Vektoren die Zeilenschreibweise. Da haben wir zunächst

$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \left( u_1,u_2,u_3,u_4 \right), \ \vec{v} = \left( v_1,v_2,v_3,v_4 \right), \ \vec{w} = \left( w_1,w_2,w_3,w_4 \right) \end{eqnarray*}$

Diese Vektoren stellen wir uns als fest gegeben vor. Darüber hinaus verwenden wir noch den Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \left( x_1,x_2,x_3,x_4 \right) \end{eqnarray*}$

Seine vier Koordinaten sollen Unbekannte sein. Jetzt kann man die Determinante

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

berechnen. Wenn man sich die bekannte Leibnizsche Formel für die Determinante ansieht, erkennt man, daß dort jeder Summand genau eine der Variablen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ enthalten muß. Faßt man die Terme mit der gleichen Variablen durch Ausklammern zusammen, wird einem klar, daß die obige Determinante von der Form

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \sum_i \alpha_i x_i \end{eqnarray*}$

sein muß. Der Index läuft hier und im Folgenden von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ . Ein solcher Ausdruck ist, was man gemeinhin eine Linearform in $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ nennt. Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ dieser Linearform müssen Summen von Produkten der Form $\begin{eqnarray*} \pm u_j v_k w_l \end{eqnarray*}$ sein, wo $\begin{eqnarray*} j,k,l \end{eqnarray*}$ paarweise verschiedene Indizes sind. Man könnte nun diese $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ konkret berechnen. Um die Eigenschaften des Vektorproduktes nachzuweisen, ist dieser Aufwand aber nicht nötig. Trotzdem habe ich es einmal für $\begin{eqnarray*} \alpha_ 1 \end{eqnarray*}$ von einem CAS durchführen lassen:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1 = u_2 v_3 w_4 - u_3 v_2 w_4 - u_2 v_4 w_3 + u_4 v_2 w_3 + u_3 v_4 w_2 - u_4 v_3 w_2 \end{eqnarray*}$

Und wo ist nun das Vektorprodukt? Das bekommt man, indem man in der obigen Linearform für die Variablen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ der Reihe nach formal die kanonischen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3, \vec{e}_4 \end{eqnarray*}$ einsetzt, wobei man statt der Multiplikation reeller Zahlen die skalare Multiplikation von Skalar und Vektor nimmt, also

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum_i \alpha_i \vec{e}_i \end{eqnarray*}$

Nun bilden wir einmal das Standardskalarprodukt dieses Vektorprodukts mit $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \left \langle \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} \, , \, \vec{u} \right \rangle = \left \langle \sum_i \alpha_i \vec{e}_i \, , \, \vec{u} \right \rangle \end{eqnarray*}$

Jetzt verwende die Bilinearität des Skalarprodukts, genauer: die Linearität im ersten Argument. Die Skalarprodukte, die in der Summe dann noch übrig bleiben, können einfacher geschrieben werden, da ja die $\begin{eqnarray*} \vec{e}_i \end{eqnarray*}$ die Einheitsvektoren sind. Und dann denke an die Determinante ganz oben.

22.06.2012, 15:41

Ehos

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Ergänzende Bemerkung:
Man kann allgemein im n-dimensionalen Raum das Vektorprodukt aus n-1 Vektoren wie folgt definieren. Der Spezialfall n=3 wäre dann das "normale" Vektorprodukt.

-------------
Definition:
Das Vektorprodukt aus n-1 Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist derjenige Vektor $\begin{eqnarray*} \vec a_n \end{eqnarray*}$ mit folgenden Eigenschaften

(1) $\begin{eqnarray*} \vec a_n \end{eqnarray*}$ steht senkrecht auf allen $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_{n-1} \end{eqnarray*}$
(2) Die Länge des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec a_n \end{eqnarray*}$ entspricht dem (n-1)-Volumen des (n-1)-dimensionalen Spates, der durch die n-1 Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_{n-1} \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird.
(3) Die n Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_n \end{eqnarray*}$ bilden ein Rechtssystem
------------

Diese Definition ist äquivalent zur Definition des Fragesteller - aber etwas anschaulicher.

22.06.2012, 19:57

Robert_neu

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Danke. Soweit verständlich.

Das heißt ich müsste so jetzt weiter rechnen:
$\begin{eqnarray*} \langle e_1 \begin{vmatrix} u_2 & u_3 & u_4\\ v_2 & v_3 & v_4 \\ w_2 & w_3 & w_1 \end{vmatrix} - e_2 \begin{vmatrix} u_1 & u_3 & u_4\\ v_1 & v_3 & v_4 \\ w_1 & w_3 & w_1 \end{vmatrix} + e_3 \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_4\\ v_1 & v_2 & v_4 \\ w_1 & w_2 & w_4 \end{vmatrix} - e_4 \begin{vmatrix} u_1 & u_1 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}, \vec{u} \rangle \end{eqnarray*}$

Da ja e_1, ... , e_4 Einheitsmatizen sind, folgt:
$\begin{eqnarray*} \langle \begin{vmatrix} u_2 & u_3 & u_4\\ v_2 & v_3 & v_4 \\ w_2 & w_3 & w_4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 & u_4\\ v_1 & v_3 & v_4 \\ w_1 & w_3 & w_4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_4\\ v_1 & v_2 & v_4 \\ w_1 & w_2 & w_4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} u_1 & u_1 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}, \vec{u} \rangle \end{eqnarray*}$

und was hilft mir das jetzt weiter?

22.06.2012, 20:30

Bernhard1

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Zitat:

Original von Robert_neu
Meine Ideen:
Will ich jetzt c Beweisen
dann gilt $\begin{eqnarray*} <u\times v\times w, u> = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_4-u_4v_3 \\ u_4v_1-u_1v_4 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4\end{pmatrix} , u> \end{eqnarray*}$

Das ist aber $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$

wo liegt da der Fehler?

Hallo Robert_neu,

für den Beweis von c) muss man "nur" das Skalarprodukt korrekt auflösen:

$\begin{eqnarray*} <u\times v\times w, u> = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ein bekannter Satz über Determinanten liefert das gesuchte Ergebnis.

23.06.2012, 00:57

Robert_neu

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

nach Laplaceschen Entwicklungssatz:
$\begin{eqnarray*} \ u_1 \begin{vmatrix} u_2 & u_3 & u_4\\ v_2 & v_3 & v_4 \\ w_2 & w_3 & w_1 \end{vmatrix} - u_2 \begin{vmatrix} u_1 & u_3 & u_4\\ v_1 & v_3 & v_4 \\ w_1 & w_3 & w_1 \end{vmatrix} + u_3 \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_4\\ v_1 & v_2 & v_4 \\ w_1 & w_2 & w_4 \end{vmatrix} - u_4 \begin{vmatrix} u_1 & u_1 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und das ausmultipliziert ergibt dann 0.
danke.

b kann man demnach so beweisen:
$\begin{eqnarray*} u \times v\times w = 0 \Leftarrow\Rightarrow u,v,w \end{eqnarray*}$ linear abhängig
Es gilt
$\begin{eqnarray*} u \times v\times w = 0 \Leftarrow\Rightarrow det\begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 & e_4\\ u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ v_1 & v_2 & v_3 &v_4 \\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4\end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftarrow\Rightarrow u \times v\times w \end{eqnarray*}$ linear abhängig

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23.06.2012, 08:25

Leopold

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Ich sagte dir bereits, daß es gar nicht nötig ist, die Koeffizienten der Linearform explizit zu kennen, dennoch rechnest du sie als 3×3-Matrizen aus. Und dann auch noch falsch. Aber vielleicht sind es auch nur Schreibfehler, was bei den vielen Indizes ja schnell passiert ist.

Wir haben

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \\ \end{vmatrix} = \sum_i \alpha_i x_i \, , \ \ \ \ \text{(2)} \ \ \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum_i \alpha_i \vec{e}_i \end{eqnarray*}$

Um jetzt c) zu beweisen, verwenden wir beim zweiten Gleichheitszeichen die Linearität des Standardskalarprodukts im ersten Argument, beim dritten die besondere Bedeutung der Standardbasis, beim vierten die Beziehung $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ und beim letzten, daß eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen verschwindet:

$\begin{eqnarray*} \left \langle \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} \, , \, \vec{u} \right \rangle = \left \langle \sum_i \alpha_i \vec{e}_i \, , \, \vec{u} \right \rangle = \sum_i \alpha_i \left \langle \vec{e}_i \, , \, \vec{u} \right \rangle = \sum_i \alpha_i u_i = \begin{vmatrix} \vec{u} \\ \vec{u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \\ \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Und mit $\begin{eqnarray*} \vec{v}, \vec{w} \end{eqnarray*}$ geht die Rechnung analog. Damit ist c) bewiesen.

Und b) könnte man so machen:

Sind $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, so ist die Determinante in $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ für jedes (!!) $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Da sie eine Linearform definiert (die somit die Nullform ist), kann das nur gehen, wenn alle Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ sind. Damit wird durch $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ der Nullvektor definiert. Die Schlüsse lassen sich alle umkehren.

Deine Beweise kranken alle daran, daß du $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ vermischst. Die Darstellung, in der ersten Zeile der Determinante an den vier Stellen die Einheitsvektoren einzutragen, ist nur eine symbolische Darstellung, also eine Merkhilfe für die Formel. Für Beweise taugt diese symbolische Darstellung nicht, denn die Elemente einer Determinante müssen immer Skalare sein.

23.06.2012, 08:28

Bernhard1

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Stimmt. b) kann man unmittelbar mit den drei Regeln für das Nullwerden der Determinante begründen.

a) und d) sind ebenfalls nichts anderes als Regeln für das Rechnen mit einer Determinante.

23.06.2012, 08:39

Bernhard1

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Zitat:

Original von Leopold
Und dann auch noch falsch.

Stimmt. In die vierte Unterdeterminante hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. Da kommt zweimal u1 vor. Besser wäre hier ein Hinweis auf die Regeln für das Nullwerden einer Determinante.

24.06.2012, 12:08

Robert_neu

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und wie mache ich das mit dem Zeigen der Linearität? u,v,w sollen ja linear sein.
Für die Linearität gilt:
f(v1 + v2)= f(v1) + (v2)
$\begin{eqnarray*} f(\lambda v1)= \lambda * f(v1) \end{eqnarray*}$

Das heißt ich nehme mir ein v1 und ein v2.
$\begin{eqnarray*} v1=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ e_1 & f_1 & g_1 & h_1 \\ j_1 & k_1 & l_1 & m_1 \\ n_1 & p_1 & q_1 & r_1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v2=\begin{vmatrix} a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ e_2 & f_2 & g_2 & h_2 \\ j_2 & k_2 & l_2 & m_2 \\ n_2 & p_2 & q_2 & r_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

setzte das da f(v1 + v2) ein:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ e_1 & f_1 & g_1 & h_1 \\ j_1 & k_1 & l_1 & m_1 \\ n_1 & p_1 & q_1 & r_1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ e_2 & f_2 & g_2 & h_2 \\ j_2 & k_2 & l_2 & m_2 \\ n_2 & p_2 & q_2 & r_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 + a_2 & b_1+b_2 & c_1+c_2 & d_1+d_2 \\ e_1+e_2 & f_1+f_2 & g_1+g_2 & h_1+h_2 \\ j_1+j_2 & k_1+k_2 & l_1+l_2 & m_1+m_2 \\ n_1+n_2 & p_1 + p_2& q_1 +q_2& r_1+r_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei die zweite zeile dem u, die dritte das v und die letzte Zeile das w entspricht.

f(v1) + (v2)
$\begin{eqnarray*} (\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ e_1 & f_1 & g_1 & h_1 \\ j_1 & k_1 & l_1 & m_1 \\ n_1 & p_1 & q_1 & r_1 \end{vmatrix}) + (\begin{vmatrix} a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ e_2 & f_2 & g_2 & h_2 \\ j_2 & k_2 & l_2 & m_2 \\ n_2 & p_2 & q_2 & r_2 \end{vmatrix}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 + a_2 & b_1+b_2 & c_1+c_2 & d_1+d_2 \\ e_1+e_2 & f_1+f_2 & g_1+g_2 & h_1+h_2 \\ j_1+j_2 & k_1+k_2 & l_1+l_2 & m_1+m_2 \\ n_1+n_2 & p_1 + p_2& q_1 +q_2& r_1+r_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wäre das erste Kriterium erfüllt. Bei dem zweiten Kriterium geht man genauso vor.

Und wie gehe ich jetzt bei $\begin{eqnarray*} u\times v\times w = -v\times u\times w \end{eqnarray*}$ vor?

Der Linke Term ist das:

$\begin{eqnarray*} u\times v\times w = det\begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 & e_4\\ u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ v_1 & v_2 & v_3 &v_4 \\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4\end{pmatrix} = \sum_i \alpha_i \vec{e}_i \end{eqnarray*}$

vertausche ich jetzt einfach die Werte und zeige,dass das $\begin{eqnarray*} \sum_i \alpha_i \vec{e}_i \end{eqnarray*}$ wieder rauskommt?

also:
$\begin{eqnarray*} -v\times u\times w = det\begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 & e_4\\ -v_1 & -v_2 & -v_3 & -v_4 \\ u_1 & u_2 & u_3 & u_4 \\ w_1 & w_2 & w_3 & w_4\end{pmatrix} = \sum_i \alpha_i \vec{e}_i \end{eqnarray*}$

24.06.2012, 12:37

Bernhard1

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Zitat:

Original von Robert_neu
Und wie gehe ich jetzt bei $\begin{eqnarray*} u\times v\times w = -v\times u\times w \end{eqnarray*}$ vor?

Vertauscht man bei einer Determinante zwei Spalten oder Zeilen ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Beweis s.a hier: http://wwwopt.mathematik.tu-darmstadt.de/~bokowski/pdf/determinante.pdf

24.06.2012, 13:15

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Telefonmann1

Und warum weist du Robert_neu nicht darauf hin, daß seine ganzen Rechnungen sinnlos sind? Weil du es vielleicht selber nicht gemerkt hast?
Was hilft es, daß du Links zu irgendwelchen Determinanteneigenschaften gibst, wenn du selbst das Konzept des Vektorprodukts (noch) nicht verstanden hast? Deine Ausführungen sind nicht hilfreich, denn sie geben dem Fragesteller das Gefühl, etwas richtig gemacht zu haben, obwohl gar nichts stimmt. Wer selber nichts verstanden hat, kann anderen auch nichts erklären.

24.06.2012, 13:51

Robert_neu

Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Wie müsste es dann richtig lauten? Hättest du vielleicht einen Ansatz?

24.06.2012, 14:12

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was du da gerechnet hast. Ich kann keinerlei Sinn dahinter erkennen. Du wendest auch völlig falsche Umformungsregeln für Determinanten an. Das gilt alles nicht. Auch glaube ich, daß du immer noch nicht verstanden hast, daß die Determinantenschreibweise eine symbolische Schreibweise ist. Und vielleicht hat dich Telefonmann1 mit seiner Zustimmung zu deinen Beiträgen auch irregeleitet. Bei der 4×4-Determinante müssen alle 16 Einträge Skalare sein. Es ist verboten, da in der ersten Zeile 4 Vektoren einzusetzen. Scheinbar tut man das zwar, aber es ist eben nur eine Merkhilfe für den konkreten Kalkül. Diese Merkhilfe faßt die beiden Schritte $\begin{eqnarray*} \text{(1)}, \text{(2)} \end{eqnarray*}$ meines vorigen Beitrags scheinbar zusammen. Beim Beweisen mußt du aber diese Schritte auseinanderhalten.

Dir sind nicht einmal die Behauptungen klar. Bei der Linearität mußt du Folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \left( \vec{u} + {\vec{u}}' \right) \times \vec{v} \times \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} + {\vec{u}}' \times \vec{v} \times \vec{w} \, , \ \ \left( \lambda \, \vec{u} \right) \times \vec{v} \times \vec{w} = \lambda \left( \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} \right) \end{eqnarray*}$

Und das natürlich auch im zweiten und dritten Argument.
Ich weiß leider nicht, wie ich dir helfen kann. Denn es fehlt am grundlegenden Verständnis der Dinge. Ich führe dir den Beweis der ersten Formel einmal vor. Ob du etwas davon verstehst, weiß ich nicht.

Zunächst gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum \alpha_i \vec{e}_i \, , \ \ \text{wobei} \ \ \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \sum \alpha_i x_i \end{eqnarray*}$

Und entsprechend für den anderen Vektor:

$\begin{eqnarray*} {\vec{u}}' \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum \alpha'_i \vec{e}_i \, , \ \ \text{wobei} \ \ \begin{vmatrix} \vec{x} \\ {\vec{u}}' \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \sum \alpha'_i x_i \end{eqnarray*}$

Jetzt berechnen wir zunächst

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} + {\vec{u}}' \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \vec{x} \\ {\vec{u}}' \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \sum \alpha_i x_i + \sum \alpha'_i x_i = \sum \left( \alpha_i + \alpha'_i \right) x_i \end{eqnarray*}$

Hierbei haben wir nur verwendet, daß die Determinante bezüglich der zweiten Zeile linear ist, bei festgehaltenen anderen Zeilen. Da ist übrigens der grundlegende Fehler bei deinen Rechnungen gewesen.

Nach der Definition des Vektorproduktes gilt

$\begin{eqnarray*} \left( \vec{u} + {\vec{u}}' \right) \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum \left( \alpha_i + \alpha'_i \right) \vec{e}_i = \sum \alpha_i \vec{e}_i + \sum \alpha'_i \vec{e}_i = \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} + {\vec{u}}' \times \vec{v} \times \vec{w} \end{eqnarray*}$

24.06.2012, 15:30

Robert_neu

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danke. so langsam wird mir das verständlicher.
Um das zweite Argument zu zeigen, geht man analog vor also:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} \\ \vec{v}+v' \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \vec{x} \\ {\vec{u}} \\ \vec{v}' \\ \vec{w} \end{vmatrix} = \sum \alpha_i x_i + \sum \alpha'_i x_i = \sum \left( \alpha_i + \alpha'_i \right) x_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \times (\vec{v}+v') \times \vec{w} = \sum \left( \alpha_i + \alpha'_i \right) \vec{e}_i = \sum \alpha_i \vec{e}_i + \sum \alpha'_i \vec{e}_i = \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} + {\vec{u}} \times \vec{v}' \times \vec{w} \end{eqnarray*}$

Das dritte Argument analog.

Um die zweite Formel zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \vec{x} \\ \vec{\lambda u} \\ \vec{v} \\ \vec{w} \end{vmatrix} =\sum \lambda \alpha_i x_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum \lambda \alpha_i x_i = \lambda \sum \alpha_i x_i \end{eqnarray*}$

24.06.2012, 16:10

Robert_neu

Auf diesen Beitrag antworten »

meine natürlich anstatt
$\begin{eqnarray*} \lambda \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum \lambda \alpha_i x_i = \lambda \sum \alpha_i x_i \end{eqnarray*}$

das:
$\begin{eqnarray*} \lambda \vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} = \sum \lambda \alpha_i e_i = \lambda \sum \alpha_i e_i \end{eqnarray*}$

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