Rang Matrix/Transponierte

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29.01.2007, 18:01	DieBiene	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang Matrix/Transponierte Hallo zusammamen ! Folgende Aufgabe: Beweisen Sie , dass für jede Matrix aus Matn(R) gilt: $\begin{eqnarray} rang(M) = rang(M\cdot M^{T}) \end{eqnarray}$ Also wie ich zeige, dass der Rang des Produkts kleiner als der Rang von M ist, weiss ich. Wäre lieb, wenn mir einer nen Tipp geben könnte, wie ich auch auf die Gleichheit komme! Danke Gruß...Biene
29.01.2007, 19:05	DieBiene	Auf diesen Beitrag antworten »
also das T soll für Transponiert stehen, damit da keine Missverständnisse aufkommen;-) Keiner eine Idee? Gruß..dieBiene
29.01.2007, 21:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Was haben denn $\begin{eqnarray} M \text{ und } M^T \end{eqnarray}$ gemeinsam? Tipp: Zeilenrang = Spaltenrang Versuche einen Widerspruchsbeweis.
29.01.2007, 21:32	DieBiene	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} M \text{ und } M^T \end{eqnarray}$ haben den gleichen Rang. Also mit dem Widerspruchsbeweis komm ich jetzt gar nicht klar. Was soll ich denn zum Widerspruch führen? Ich hab ja praktisch nur die Voraussetzung, dass die Matrizen aus Matn(R) sind und halt die Matrix den gleichen Rang hat wie die Transponierte. Könntest du da einen Hinweis geben? Geht es nicht irgendwie dass man zeigt, dass M auch in dem von den Spalten des Produkts von $\begin{eqnarray} M \text{ und } M^T \end{eqnarray}$ erzeugten Unterraum enthalten ist? Oder kann ich das irgendwie mit den assozieerten Abbildungen machen? (wäre thematisch nahe an der Vorlesung) aber gerade da hab ich die Probleme!
29.01.2007, 21:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, die haben den gleichen Rang. Des weiteren gilt für alle v aus dem Kern von $\begin{eqnarray} M^T \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} MM^Tv=0 \end{eqnarray}$ Um nun die Ranggleichheit mit M zu zeigen, darf es kein $\begin{eqnarray} w \notin Ker(M^T) \end{eqnarray}$ geben, für dass gilt: $\begin{eqnarray} MM^Tw = 0 \end{eqnarray}$ sonst wäre der Rang ja kleiner.
29.01.2007, 22:00	DieBiene	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal Danke für deine Mühe! Und sorry dafür, dass ich mich anstelle.. Also, dass für alle v aus dem Kern von $\begin{eqnarray} M^T \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} MM^Tv=0 \end{eqnarray}$ gilt, ist mir klar! Bevor ich mir jetzt Gedanken machen, wie ich da den Widerspruch herbeiführe (werde ja wohl annehmen müssen, dass es ein solches w gibt und dann irgendwie zeigen, dass latex] M undM^T[/latex] nicht den gleichen Rang haben), ist mir noch nicht ganz klar, wieso das dann genau zeigen würde, dass die den gleichen Rang haben. Die Def. von Rang kenn ich. Und ich weiss auch, dass wenn ich mit assozierten Abbildungen arbeite der Rang der Matrix = dimk(Bild(f) gilt! Aber wieso genau zeigt mir, dass es KEIN $\begin{eqnarray} w \notin Ker(M^T) \end{eqnarray}$ gibt, für dass gilt: $\begin{eqnarray} MM^Tw = 0 \end{eqnarray}$ die Ranggleichheit? Gruß..DieBiene!
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29.01.2007, 22:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang ist die Dimension des Bildraums. In endlich dimensionalen Vektorraumen gilt: $\begin{eqnarray} dim(Im(\varphi)) + dim(Ker(\varphi)) = dim(V) \end{eqnarray}$ Rangsatz Deswegen kann ich auch ziegen, dass dieDefekte (=Dimension der Kerne) gleich groß sind. Widerspruchsbeweis: Annahme: Die Defekte von M MM sind unterschiedlich groß -> es muss ein w, dass nicht im Kern von M^T liegt geben mit MM^Tw = 0 -> Dann muss mandaraus etwas über den Kern von M folgern (hier liegt die Aufgabe), nämlich dass dann die defekte von M und M^t unterschiedlich sind. Das ist aber falsch, also war auch die annhame falsch. Soviel zur Struktur.
29.01.2007, 22:35	DieBiene	Auf diesen Beitrag antworten »
noch nicht durchschaut das ganze... eine Verständnisfrage: wenn ich zeige, dass es kein w aus $\begin{eqnarray} w \notin Ker(M^T) \end{eqnarray}$ gibt $\begin{eqnarray} MM^Tw = 0 \end{eqnarray}$ , zeige ich dann nicht, dass die Dimension des Kerns von M KLEINER GLEICH ist als die Dimension des Kerns von M M^T? Also konkret = wieso würde dies die Gleichheit der Dimension des Kerns zeigen? Mir ist klar, dass ich zeigen würde, dass es kein Element aus Kern(M) gibt, dass nicht in Kern(M M^T) liegt, aber wieso gilt es auch andersrum?
29.01.2007, 22:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen $\begin{eqnarray} rang(M) = rang(M^T) \end{eqnarray}$ folgt auch $\begin{eqnarray} defekt(M) = defekt(M^T) \end{eqnarray}$ es ist nun für alle v aus $\begin{eqnarray} Ker(M^T): MM^Tv = 0. \end{eqnarray}$ D.h. $\begin{eqnarray} defekt(MM^t) \geq defekt(M^T) = defekt(M) \end{eqnarray}$
29.01.2007, 23:07	DieBiene	Auf diesen Beitrag antworten »
oke bis dahin verstanden. Genügt, es dann nicht einfach zu sagen: Sei w aus $\begin{eqnarray} w \notin Ker(M^T) \end{eqnarray}$ mit. $\begin{eqnarray} MM^Tw = 0 \end{eqnarray}$ , Dann ist M(M^Tw)=0, also M^t w (ist ja ein Vektor des K^n) aus Kern(M). Dann ist Kern(M) größer als Kern(M^T) und das ist nach Voraussetzung falsch. Wahrscheinlich zu kurz, ne? Gruß...die Biene

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